ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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Cette  transition  se  fait  entre  les  fig.  12  et  13.  Dans  la  première, 
on  a «z=ip,  c’est-a-dire  plus  grand  que  lyy^;  le  point  P g,  où 
cesse  la  formation  des  points  d’inflexion , est  encore  situé  plus  bas 
que  Qo  , limite  des  points  qui  décrivent  des  sommets  intermédi- 
aires. Dans  la  seconde  figure,  on  a a — 1J6,  c’est-à-dire  plus 
petit  que  lyy/>;  et  maintenant  Pq  se  trouve  plus  haut  que  Q^. 
Dans  la  fig.  12,  les  hypocycloïdes  situées  entre  les  lignes  P^  PPtz 
et  Qo  Q Qrr  ont  donc  un  sommet  ^ ; dans  la  fig.  1 3 , 
elles  ont  un  jpoint  dHnfiexion  h. 
3.  Relativement  à la  question  de  savoir  dans  quels  sommets 
le  rayon  de  courbure  aura  une  valeur  maximum  absolue , et  dans 
dans  quels  autres  il  présentera  une  valeur  minimum  absolue, 
remarquons  d’abord  que  tout  sommet  qui  précède  ou  suit  un 
point  d’inflexion  doit  nécessairement  être  un  sommet  minimum. 
Appliquons  ensuite  ce  qui  a été  dit  à la  fin  du  § 8 (p.  33)  au 
sujet  des  signes  de  q et  de  — - pour  u = 0.  Les  formules 
du‘^ 
(a — b)rQ^  q\  — b)prQ  {a — 2b)p — a(a+6) 
j {a — b)p — i (p — a)  \du’^J  o 1 î ^ P — ^ 
montrent  que 
a"^ 
Qq  est  positif  pour  a’>  b^  lorsqu’on  a < a ou  ^ > ; 
a — b 
pour  a <zb  J lorsqu’on  Si  p>  a. 
/ a^ 
Qq  est  négatif  a">  b^  lorsqu’on  Si  a <.  p <. ; 
b — a 
pour  a <b  ^ lorsqu’on  a p < a. 
d^  g 
— ^ est  positif  pour  a > 2 6 , lorsqu’on  a p ca  ou  ^ > 
Cv  tt 
a{a-\-b)  ^ 
a — 2 b ’ 
d^Q 
du"^ 
pour  26  > a > 6,  lorsqu’on  o,  p < a:, 
pour  b>  a.,  lorsqu’on  â p>  a. 
est  négatif  ipouY  a>  26,  lorsqu’on  a,  a <p  < 
a{a^  6); 
a — 26 
pour  2 6 > a > 6 , lorsqu’on  a,  p>^  a] 
pour  b>  a,  lorsqu’on  a,  p < a. 
