ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES.  39 
longueur,  par  exemple  Aq  a,  = (fig.  4).  Le  cercle  géné- 
rateur ayant  alors  roulé  de  l’angle  z=:  u"\  est  venu 
en  «2 , et  on  a angle  A^C'a^  Le  point  a décrit  un 
arc  de  cercle  autour  de  C',  en  restant  toujours  dans  l’aligne- 
ment qui  passe  par  le  point  de  contact  et  par  C'.  Or  la 
situation  relative  de  la  droite  Cq  A^  et  du  cercle  iT ne  changeant 
pas  durant  le  mouvement,  on  n’a  qu’à  transporter  en  C l’angle 
Aq  Cq  et,  = u'"  pour  trouver  la  nouvelle  position  de  Aq  Cq.  En 
portant  enfin  sur  cette  direction , à partir  de  C , la  distance  p 
qui  séparait  de  un  point  générateur  quelconque,  on  aura  le 
lieu  que  ce  point  occupe  après  que  le  cercle  a roulé  de  l’angle  u"\ 
C’est  de  cette  manière  qu’ont  été  construites  les  courbes  cycloï- 
diques  qu’on  voit  dans  les  figures  9 à 17. 
10.  Considérations  analytiques. 
Les  mêmes  résultats  peuvent  être  obtenus  par  la  méthode 
analytique.  Nous  présenterons  brièvement  quelques  applications 
de  celle-ci , en  partie  pour  fournir  un  contrôle  à ce  qui  précède , 
en  partie  pour  tirer  encore  quelques  conséquences  qui  se  laissent 
déduire  moins  facilement  de  la  figure. 
Les  équations  polaires, 
r -j-  cos  a = 0 et  r -f-  ^ cos  « = 0 , 
a — h a — 2b 
du  cercle  des  points  d’inflexion  et  du  cercle  des  sommets  nous 
ont  déjà  donné,  par  la  substitution 
/ "T  I T O i.  COS  XI 
r -Xr  p^  — 2 ap  cos  u et  cos  a = — , 
les  relations 
+ (a  — h)p‘^  — ap  {2  a — h)  cosu^  =:  0,  . . . (27) 
et 
(a b) (a  — 2b)p^ — ap  {2  a — b)  cos  u ^ zzz  0 ^ . . . (28) 
