ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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L’équation  de  la  focale  devient,  comme  nous  l’avons  déjà  fait 
remarquer  plus  haut  (p.  16). 
sin  a I (a  — 2h)r  ^ah  cos  a \ 0. 
Cette  courbe  est  donc  transformée  en  une  droite 
sin  « zz:  0 , 
qui  est  la  normale  au  point  de  contact , et  en  un  cercle 
r + --  - cos  a=z0, (23) 
a — 2 h 
dont  le  diamètre  est  constant  et  =:  ^ ^ --- . Ce  cercle , que  nous 
a — 2 6 
appellerons  cercle  des  sommets^  est  situé,  par  rapport  à la  tan- 
gente, à l’autre  ou  au  même  côté  que  le  cercle  générateur, 
suivant  qu’on  a a'^2  b. 
Nous  classerons  les  différentes  formes  hypocycloïdiques  d’après 
l’existence  de  points  d’inflexion  et  de  sommets  et  d’après  la 
situation  relative  de  ces  points.  A cet  effet,  imaginons  que  la 
droite,  qui  à l’origine  du  mouvement  est  normale  aux  deux 
cercles , soit  invariablement  liée  au  cercle  générateur  et  se  meuve 
avec  celui-ci.  Les  divers  points  de  cette  droite,  qui  se  trouvent 
avec  le  point  de  contact  au  même  côté  du  centre  de  courbure 
du  cercle  générateur,  décrivent  alors  toutes  les  cycloïdales  pos- 
sibles; nous  avons  donc  seulement  à déterminer  en  quels  points 
cette  droite  peut  couper  ou  toucher  le  cercle  des  points  d’inflexion 
et  le  cercle  des  sommets. 
Si  dans  les  équations  de  ces  cercles  on  substitue 
r=z\/a-\-p’^  — 2 ap  cosu  et  cos  a 
a — P cosu 
la  première  devient 
H- (a  — h)p'^ — ap{2a  — h)cosu^=0, 
équation  qui  nous  permet  de  déterminer  après  quel  angle  de 
rotation  u^  un  certain  point,  situé  à la  distance  p du  centre 
du  cercle  générateur , formera  un  point  d’inflexion.  En  général , on  a 
cos  U 
{a  — h)p' 
a p (2  a — b) 
(24) 
