ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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reste  constant,  quelle  que  soit  la  position  que  les  points  P,  et 
P 2 viennent  occuper  par  suite  de  la  révolution  des  cercles,  on 
voit  que  les  cycloïdales  décrites  par  ces  cercles  sont  semblables, 
et  que  C'  est  leur  centre  de  similitude  extérieur. 
Lorsqu’on  a prend  une  valeur  positive.  Chacun 
des  deux  cercles  donne  donc  des  hypocycloïdes  intérieures.  Nous 
supposons,  en  conséquence,  que  dans  les  deux  cercles  généra- 
teurs l’angle  de  rotation  u est  positif.  Les  rayons  de  courbure 
des  deux  cycloïdales  étant  et  , on  a alors 
3 
(«J  — h)  \/ P — 2 a ^ P ^ cos  U 
^ — h)p^'^  — a^p^{2a^  — h)  cosu 
et 
3 
(^2  ^)  \/  ^2  ^ P2  ^ ^ Cil  Pi  ^ 
[a^ — h)p^'^ — a.^p^[2a^ — h)  cosu 
En  substituant  dans  la  seconde  de  ces  .équations 
a^=h  — a,  et  ^^2  = 
Pi 
on  trouve  pour  le  rapport  des  rayons  de  courbure 
Q_p 
Qi 
ce  rapport  est  donc  constant  pour  des  valeurs  égales  de  u.  En 
outre , on  a pour  les  deux  cycloïdales , dans  chacun  des  triangles 
formés  par  le  point  de  contact  A , le  centre  de  courbure  C et  le 
point  générateur  P, 
a J smccj  =Pi  sin  (u  -h  a^)  et  smcc.2  =Pi  sin  {u  -h  «2)- 
Par  la  multiplication  on  trouve,  attendu  que  a,  ^PiPi  ? 
sin  «J  . sin  «2  = sin  {u  -j-  a ^)  . sin  {u  + «2) > 
d’où  résulte , après  développement  et.  réduction , 
Tgu  = — Tg(a^  + a^), 
c’est-à-dire 
u H-  ^2  = 7t, 
et  par  conséquent , pour  u = 0 ^ 
(«1)0  ‘+  = 
