ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES.  27 
ment , et  en  outre  du  même  côté  de  C que  A ; le  signe  supérieur 
se  rapporte  aux  valeurs  positives  de  a , par  conséquent  aux  hypo- 
cycloïdes,  le  signe  inférieur  aux  valeurs  négatives  de  a,  par 
conséquent  aux  épicycloïdes.  Les  lignes  cycloïdiques  sont  allongées , 
ordinaires  ou  raccourcies , suivant  qu’on  a ^ = a ; les  hypocycloïdes 
sont  extérieures  ou  intérieures  selon  qu’on  a a ^ ô. 
La  discussion  des  différentes  formes  peut  être  notablement 
abrégée  à l’aide  de  la  proposition  suivante. 
Lorsque  sur  un  même  cercle  directeur  roulent  deux  cercles 
générateurs  dont  les  rayons  ont  une  somme  algébrique  égale  au 
rayon  du  cercle  directeur , deux  points , choisis  de  telle  sorte  que 
le  produit  de  leurs  distances  aux  centres  des  cercles  générateurs 
soit  égal  au  produit  des  rayons  de  cercles , décrivent  des  cycloidales 
semblables. 
Soient,  par  exemple,  a,  et  a ^ les  rajons  des  cercles  géné- 
rateurs; b le  rayon  du  cercle  directeur,  p^  et  distances 
de  deux  points  P,  et  P 2 aux  centres  Cj  et  C2  des  cercles  géné- 
rateurs; la  courbe  que  décrit  le  point  P,  , lorsqu’il  se  meut  avec 
le  cercle  Cj  , sera  alors  semblable  à la  courbe  que  décrit  P 2 , 
lorsque  ce  point  est  entraîné  avec  le  cercle  C2  ; pourvu  qu’il 
soit  satisfait  aux  conditions 
a,  + «2  = ^ et  ^2  ~ ^ 1 <^^2  î 
où  on  doit  prendre  le  signe  supérieur  ou  le  signe  inférieur,  sui- 
vant que  a,  et  a 2 ont  des  signes  égaux  ou  contraires. 
Nous  démontrerons  cette  proposition  séparément  pour  chacun 
des  deux  cas  a^>^b  et  aj  cô;  pour  le  premier,  la  démon-* 
stration  sera  géométrique,  pour  le  second,  analytique. 
Dans  la  fig.  3,  C'  est  le  centre  du  cercle  directeur,  Cj  , G2 , 
P J et  P 2 sont  les  positions  que  les  centres  des  cercles  généra- 
teurs occupent  au  moment  où  le  mouvement  commence  et  où 
les  trois  cercles  se  touchent  en  A q.  Comme  C^Aq  ou  a,  est 
plus  grand  que  C'Ao=ô,  a^  est  négatif,  et  par  conséquent 
C2  Aq  = Cj  C'  se  porte  à l’autre  côté  de  Aq.  Figurons-nous 
