ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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Lors  du  passage  de  l’état  hypocycloïdal  à l’état  épicycloïdal , 
le  cercle  des  points  d’inflexion  et  le  nœud  de  la  focale  vien- 
nent tous  les  deux  se  placer  au-dessus  de  la  tangente. 
Pendant  que  R croît  jusqu’à  oo  , il  ne  se  passe  rien  de  par- 
ticulier, sauf  que  beaucoup  de  cycloïdales  forment  leur  sommet 
et  quelques-unes  leur  point  d’inflexion.  Les  centres  de  courbure 
ne  franchissent  pas  la  sécante,  excepté  quand  le  point  généra- 
teur est  situé  sur  la  courbe  génératrice  et  que  celle-ci  touche  en 
ce  point  la  courbe  directrice,  circonstances  qui  donnent  lieu  à 
un  point  de  rebroussement.  Pour  toutes  les  autres  cycloïdales , le 
centre  de  courbure  reste  au  même  côté  du  point  générateur , tandis 
qu’à  chaque  instant  l’intersection  de  la  sécante  et  de  la  tangente 
commune  appartient  à une  cycloïdale  dont  le  centre  de  courbure 
dépasse  le  point  A. 
Nous  laissons  maintenant  R changer  de  signe  à travers  l’infini , 
et  redevenir  par  conséquent  positif.  L’équation  du  cercle  des  points 
d’inflexion  devient  pour  Rz=:  co 
r + R cos  « 0. 
Ce  cercle  a donc  pour  diamètre  le  rayon  de  courbure  de  la 
directrice  et  est  situé  au-dessus  de  la  tangente. 
Le  rayon  de  courbure  de  la  cycloidale  devient 
r 
r-\-R  cos  a 
tandis  que  do  et  div  changent  ou  ne  changent  pas  de  signe, 
suivant  que  ds  change  de  signe.  Par  conséquent,  si  le  point  de 
la  courbe  génératrice , où  R change  de  signe  à travers  oo  , est 
un  point  d’inflexion,  le  point  correspondant  de  la  cycloïdale  est 
un  point  ordinaire  ; si  le  premier  point  est  un  point  de  rebrousse- 
ment, la  cycloïdale  a une  ramphoïde, 
La  cycloïdale  est  maintenant  redevenue  hypocycloïdale-extéri- 
eure , et  nous  avons  examiné  les  changements  les  plus  importants 
que  peut  subir  R , dans  la  supposition  tacite , il  est  vrai , que 
R'  reste  toujours  fini  et  positif.  Si  R'  change  de  signe  en  pas- 
sant par  zéro  ou  par  oo  , il  en  résulte  une  ramphoïde  dans  la 
cycloïdale,  lorsque  R‘  = 0 est  un  point  d’inflexion,  ou  jR'znoo 
