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H.  ONÎfEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THl^ORIE  DES 
Si  l’on  substitue  cette  valeur  dans  la  formule  de  on  a,  en 
remplaçant  RR  par  R'^  ^ 
r’^  (/?'_! 
r + i?'  2 * 
Il  résulte  de  là  que,  au  point  en  question,  le  rayon  de 
courbure  aura  en  général  une  valeur  finie  et  ne  changera  pas 
de  signe.  Les  équations  (12)  et  (13)  montrent,  en  outre,  que 
d Q et  dw  changent  tous  les  deux  de  signe  en  passant  par  zéro , 
ce  qui  signifie  qu’il  se  forme  une  ramphoïde  (rebroussement  de 
la  seconde  espèce). 
Maintenant,  les  cycloïdales  deviennent  hypocycloldales-intérieures. 
Le  cercle  des  points  d’inflexion  et  le  nœud  de  la  focale  sont 
situés  tous  les  deux  au-dessous  de  la  tangente,  mais  le  second 
s’est  placé  à l’autre  côté  de  la  normale. 
Lorsque  R devient  égal  à zéro,  et  ensuite  négatif , l’état 
cloïdal  se  produit.  Le  passage  est  reconnaissable'  à ce  que  pour 
toutes  les  cycloïdales  q devient  ~ r , et  que , par  conséquent , 
tous  les  centres  de  courbure  tombent  au  point  de  contact.  Au 
moment  où  l’on  avait  tous  les  centres  de  courbure  ont 
franchi  la  sécante  ; mais  quelques-uns  se  seront  mus  vers  A , d’autres 
se  seront  éloignés  de  ce  point.  Pour  que  ces  derniers  arrivent 
aussi  en  A quand  i?  zz:  0 , ils  doivent  passer  par  l’infini  et  se  rap- 
procher ainsi  de  A de  l’autre  côté.  Les  cycloïdales  auxquelles 
appartiennent  ces  centres  de  courbure  doivent  donc  toutes  acquérir 
un  point  d’inflexion  dans  la  période  où  E décroît  de  R'  à 0; 
les  autres,  au  contraire,  ne  peuvent  pas  avoir  d’inflexion  dans 
cette  période. 
Il  faut  maintenant  faire  une  distinction,  suivant  que  le  point 
de  la  courbe  génératrice,  où  R change  de  signe  en  passant  par 
zéro , est  un  point  de  rebroussement  ou  un  point  d’inflexion.  Dans 
le  premier  cas,  ds  change  de  signe,  et  par  conséquent  da  etdw 
n’en  changent  pas.  Dans  le  second  cas,  ds  ne  change  pas  de 
signe , et  par  conséquent  da  et  dw  en  changent  tous  les  deux. 
Les  cycloïdales  n’ont  donc  pas  de  point  singulier  dans  le  premier 
cas,  et  ont  une  ramphoïde  dans  le  second. 
