lÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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même  que  son  asymptote,  se  confonde  aussi  avec  la  tangente, 
au  moment  où  R sera  devenu  égal  à /?'.  A ce  moment,  les 
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centres  de  courbure  de  toutes  les  cycloïdales  franchissent  ensemble 
la  tangente,  et  les  rayons  de  courbure  changent  de  signe,  au 
moins  si  R continue  à décroître  plus  vite  que  /?';  toutes  les  cycloï- 
dales forment  un  point  de  rebroussement , puisque  d (T  , mais  non 
dw^  change  de  signe.  Un  seul  point  de  la  sécante  fait  toutefois 
exception,  à savoir,  le  point  où  elle  coupe  la  tangente  aux 
deux  courbes.  Pour  ce  point  on  a cos  « = 0 , et  par  conséquent 
^ . Essayons  de  déterminer  ce  point  plus  exactement. 
En  divisant  par  R — R'  le  numérateur  et  le  dénominateur  de 
la  fraction  qui  exprime  la  valeur  de  ^ , on  obtient 
Q = 
R R'  cos  a 
R- R 
et  il  est  évident  qu’il  suffit  de  chercher  la  valeur  de  la  fraction 
^R'  + et  Rz=.  R\^  attendu  que , par  hypo- 
thèse, i?,  ni  r ne  sont  nuis.  Si  l’on  différentie  le  numérateur 
et  le  dénominateur  de  cette  fraction,  en  regardant  u comme 
variable  indépendante,  on  trouve 
da 
sm  a — 
du 
dR' 
Mais  — - = 
du 
R cos  a — r d R' 
d^ 
du 
du  r 
cette  fraction  se  change  donc  en  celle-ci 
R'  {R  cos  a — r)  sin  a ^ 
R R'^xT  — R'  i?_i  r ’ 
qui  devient  pour  R z=  R'  et  « = + 
— n/  ^ n . 
HZ  iï  _l.  --  et  , 
du  R du 
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