ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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le  cas  de  0 < R <.  R‘  le  cercle  est  situé  à l’autre  côté  de  la 
tangente  commune.  Pour  /?  < 0 , toutefois , le  cercle  se  place 
de  nouveau  au  même  côté  que  dans  la  figure.  C’est  ce  qu’on 
peut  aussi  exprimer  de  la  manière  suivante  : dans  l’état  hypocy- 
cloïdal-extérieur  {R  > R') , tous  les  points  d’inflexion  se  trouvent , 
par  rapport  à la  courbe  génératrice , à l’autre  côté  de  la  tangente 
commune;  dans  l’état  hypocycloïdal-intérieur  (0  < R <R')  et  dans 
l’état  épicycloidal , ils  se  trouvent  au  même  côté. 
Dans  un  travail  de  La  Hire  sur  les  courbes  cycloïdales , travail 
inséré  aux  Mémoires  de  V Académie  des  sciences  (1706)  et  cité 
par  M.  Cramer,  le  cercle  dont  il  vient  d’être  question,  et  que 
nous  appellerons  cercle  des  points  d’inflexion , est  trouvé  par  une 
méthode  purement  géométrique  et  forme  le  point  de  départ  d’une 
foule  de  constructions.  De  La  Hire  ne  parle  pas , toutefois , du 
lieu  géométrique  de  tous  les  points  qui , pour  une  position  donnée 
de  la  courbe  génératrice,  forment  un  sommet.  Ce  lieu  est  une 
courbe  dont  l’équation , en  coordonnées  rectilignes , est  du  troisième 
degré.  Voici  comment  on  l’obtient. 
En  différentiant  l’équation  (1)  par  rapport  à if,  on  trouve, 
après  réduction , 
i{R—R>)  1 {R-R'r+2RR'cos«  | r +r^cos«  (r’  ^ + 
) du  \ du  du  ) 
I -h  R R' {R  — R')  sin 
ÿ du 
. 
du  l(^  — RR'  cos  a\‘^ 
Substituons  dans  celle-ci  les  valeurs 
dr  ^ ^ da  R cos  a — r 
— =z  R sm  a et  — zzz  , 
du  du  r 
dR 
qui  résultent  de  (2)  et  de  (6 1 ; remarquons , en  outre , que  — =P_i, 
du 
tandis  que  le  rayon  de  courbure  C' C^_i  = R'—\  de  la  déve- 
d R' 
loppée  de  K'  (fig.  2)  est  égal  à - - de  sorte  qu’on  a 
cl  V ’ 
