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H.  OX:SEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
satisfont  à l’équation  (14),  la  forme  (R  — E')  r + RR'  eos  a ne 
change  pas  de  signe.  Dans  ce  cas , en  effet , o ne  change  pas  non 
plus  de  signe,  et  il  ne  peut  pas  être  question  d’un  point  d’in- 
flexion ; O = CO  est  alors  un  maximum.  En  général , toutefois , 
Q changera  de  signe  en  passant  par  x ; et  alors , d’après  les 
équations  (12)  et  (13),  dw^  mais  non  d(j^  changera  de  signe 
en  passant  par  zéro^  ce  qui  marque  l’existence  d’un  point  d’in- 
flexion. 
L’équation  (14)  est  l’équation  polaire  d’un  cercle,  lorsque  le 
pôle  se  trouve  sur  la  circonférence  ; le  diamètre  de  ce  cercle  est 
égal  à 
^ ^ . Construisons  donc  (fig.  2)  A Y — ^ , c’est- 
R—R' 
R—  R' 
à-dire  une  quatrième  proportionnelle  à CC' , C'H  et  CA,  et  sur  cette 
ligne,  comme  diamètre,  décrivons  un  cercle  ; toutes  les  cycloïdales 
dont  les  points  générateurs  se  trouvent  sui’  la  circonférence  de  ce 
cercle  y auront  alors  un  point  d’inflexion , sauf  au  point  A , ou  l’on  a 
r = 0 et  cos  « =r  0 , et  où  il  naît  un  point  de  rebroussement  ; 
et  au  point  où  (>  = x est  un  maximum.  Ce  second  point  ne  peut 
être  ailleurs  qu’en  Y.  Si  l’on  se  figure,  en  effet , ce  même  cercle 
construit  lorsque  la  courbe  génératrice  se  trouve  dans  les  posi- 
tions immédiatement  précédente  et  suivante , tous  les  points 
générateurs  pour  lesquels  {R  — R ) r R R'  cos  a change  de  signe 
seront  situés,  dans  la  position  précédente,  à l’extérieur  du  cercle 
A Y , et  dans  la  position  suivante  à l’intérieur  de  ce  cercle , où  réci- 
proquement ; parce  que  pour  chaque  point  en  dehors  de  ce  cercle 
on  a {R  — R ) r -h  R R'  cos  a > 0 ^ et  pour  chaque  point  en  dedans 
{R  — R ) r -h  R R cos  a < 0.  Si  donc  {R  — R')  r R R cos  a ne 
change  pas  de  signe,  le  point  générateur  reste  en  dehors  du 
cercle  A Y , de  sorte  que  la  cycloïdale  touche  le  cercle  ; or , cela 
ne  peut  avoir  lieu  qu’en  Y. 
Dans  la  figure , le  cercle  A Y est  situé  au  côté  négatif  de  la 
normale  A C , parce  qu’on  a i?  > /?  , et  par  conséquent 
RR' 
positif;  des  angles  « aigus  donnent  donc  des  valeurs  négatives 
pour  r,  des  angles  obtus  donnent  des  valeurs  positives.  Dans 
