ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
11 
de  courbure  de  toutes  les  cycloïdales  décrites  par  les  différents 
points  d’une  tangente  à la  courbe  génératrice  coïncident  simul- 
tanément avec  le  point  de  contact  de  cette  tangente  au  moment 
où  le  point  A tombe  sur  la  courbe  directrice,  tandis  qu’à  ce 
même  instant,  pour  chaque  point  générateur  P situé  au  côté 
intérieur  de  la  tangente  (c’est-à-dire  du  côté  de  la  courbe),  le 
centre  de  courbure  se  trouve  au  même  côté  de  A que  P , lors- 
que la  courbe  est  hypocycloîdale-extérieure  (R>  R' ) ou  épicycldî- 
date  {R  < 0)  ; à l’autre  côté , lorsqu’elle  est  hypocycloïdale-intérieure 
(0  < jR  < R').  Pour  chaque  point  générateur  'situé  au  côté  exté- 
rieur de  la  tangente,  c’est  tout  l’opposé. 
Si  le  point  de  contact  lui-même  est  considéré  comme  point 
générateur,  on  a pour  ce  point  r zr:  0 et  par  conséquent  aussi 
(>1=0.  La  cycloïdale  forme  en  ce  cas  un  point  de  rebroussement, 
car  les  équations  (12)  et  (13)  montrent  que  dq^  mais  non  dw^ 
change  de  signe  en  même  temps  que  r.  Il  faut  remarquer  que 
cos  a change  également  de  signe  avec  r;  l’angle  PAC,  à la 
vérité , est  aigu  immédiatement  avant  et  après  l’instant  que  nous 
considérons , mais  la  direction  du  côté  A C ne  change  pas  de 
signe,  celle  du  côté  PA  change]  par  conséquent,  l’angle  a doit 
devenir  obtus  s’il  était  aigu,  et  réciproquement. 
Le  point  de  contact  A des  deux  courbes  est  le  seul  point, 
dans  le  plan  de  la  courbe  génératrice,  qui  forme  à ce  moment 
un  point  de  rebroussement. 
Si  la  tangente  commune  des  deux  courbes  est  le  lieu  géomé- 
trique de  tous  les  points  où  le  centre  de  courbure  des  cycloïdales 
est  situé  au  point  de  contact,  il  y a aussi  un  lieu  géométrique 
de  points  où  le  rayon  de  courbure  est  infini , et  un  lieu  géomé- 
trique de  points  où  ce  rayon  atteint  un  maximum  ou  un  minimum. 
Le  rayon  de  courbure  devient  infini  lorsqu’on  a 
{R  — R')  r R R' cos  a = 0 (14) 
Et  alors  il  se  produit  toujours  un  point  d’inflexion,  à moins 
qu’on  n’ait  r =z0  et  cos  a = 0 , cas  dont  nous  avons  déjà  parlé  ; 
ou  à moins  que , pendant  que  r et  a passent  par  les  valeurs  qui 
