ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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la  cycloïdale  a décrit  depuis  l’origine  du  mouvement:  on  a alors 
d IV  — dv  :=:da^ 
car  le  changement  subi  par  « est  égal  à la  vitesse  angulaire  de 
AC'  autour  de  C'.  Or,  de  cette  équation  il  résulte 
w — {v  — Vq)z=z  a ~ Uq.  , (11) 
en  supposant  que  les  angles  iv  soient  comptés  à partir  du  moment 
où  le  mouvement  commence. 
Lorsque  a par  l’intégration  de  (2)  et  (6)  et  ^ par  l’intégration 
de  (10)  ont  été  exprimés  en  fonction  de  m , l’équation  (1 1)  pourra 
servir  à trouver  u , et  par  suite  aussi  q , en  fonction  de  ; ce 
qui  déterminerait  l’équation  essentielle  proprement  dite  de  la 
cycloïdale.  Dans  la  plupart  des  cas,  toutefois,  on  sera  arrêté 
par  des  difficultés  insurmontables.  Le  q des  courbes  cycloïdales 
ne  peut  généralement  être  exprimé  qu’en  fonction  de  u ou  de- 
et,  dans  quelques  cas  particuliers  seulement,  aussi  en  fonc- 
tion de  w. 
Il  peut  quelquefois  être  utile  de  faire  usage  des  équations 
, {R  — R')r. 
= ds, (12) 
dw  z=z 
R — R‘)  r R R‘  cos  a 
RR'V] 
ds]  . . 
. . . (13; 
OÙ  représente  l’élément  d’arc  de  la  cycloïdale,  et  où  c? s peut 
être  remplacé  par  Rdu  ou  R'  dv.  La  première  de  ces  équations 
s’obtient  en  remarquant  que  les  éléments  d’arc  do  et  ds  sont 
proportionnels  aux  vitesses  PM  et  AB,  et  qu’on  a trouvé  pour 
ce  rapport  (page  6) 
{R~R')r 
YR' 
La  seconde  équation  se  trouve  à l’aide  de  la  relation 
d O 
