ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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2.  L’équation  essentielle  proprement  dite  d’une 
courbe  cycle ïdale. 
Nous  commencerons  par  introduire  quelques  nouvelles  gran- 
deurs variables.  A cet  effet,  considérons  le  triangle  P A C , formé 
par  le  point  générateur  P , le  point  de  contact  de  la  courbe 
génératrice  K et  le  centre  de  courbure  correspondant  C,  c’est- 
à-dire,  le  point  correspondant  de  la  développée,  courbe  que  nous 
désignerons  par  7T_i.  En  joignant  le  point  générateur  avec  diffé- 
rents points  de  et  en  outre  avec  les  points  correspondants  de 
iT_i , on  obtient  les  différentes  formes  que  prend  ce  triangle 
lorsque  la  courbe  génératrice  touche  la  directrice  aux  points 
choisis.  Le  changement  de  forme  que  le  triangle  PAC  subit, 
pendant  que  le  point  A parcourt  la  courbe  K et  le  point  C la 
développée  A_i,  consiste  en  ce  que  le  point  A se  meut  avec 
une  vitesse  AD  = ABsma  sur  PA,  en  même  temps  que  cette 
...  ...  , . AE  AB  cos  a 
droite  tourne  avec  la  vitesse  angulaire  z=  autour 
PA  r 
de  P.  Si,  en  outre,  CB_i  est  la  vitesse  avec  laquelle  le  point 
C parcourt  à ce  moment  la  courbe  ^_i,  ce  point  possède  une 
vitesse  CD_i  = CB_isma_i  suivant  le  côté  PC,  et  ce  côté 
C E_i  C B_i  cos  CK. 
une  vitesse  angulaire 
autour  du  point  P ; 
PC  r_i 
expressions  où  «_i  et  r_i  désignent  les  mêmes  grandeurs  par 
rapport  à la  courbe  K_i  que  « et  r par  rapport  à K.  Mais  les 
vitesses  trouvées  sont  proportionnelles  aux  différentielles  des 
chemins  parcourus.  Or  l’élément  d’arc  de  la  courbe  K est  égal 
à R du  ^ et  celui  de  la  courbe  A_i  égal  k d R-=.  R_i  du^  si 
jR_i  représente  le  rayon  de  courbure  C_i  C de  la  développée. 
En  désignant,  de  plus,  par  dcp  et  dcp_i  les  éléments  angulaires 
décrits  par  les  rayons  vecteurs  PA  et  PC,  on  a 
drz=.Rsinadu^  ...  (2) 
dr—i=zR_isina-idu^  . . (3) 
rdcpuzR  cosadu^  ...  (4) 
r_i (jp_i  = 1 cos «_i du  , (5) 
