ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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même  sujet , on  soit  aussi  conduit  à des  points  de  vue  différents. 
Les  équations  essentielles , et  celles  qui  leur  sont  analogues , 
conviennent  surtout  pour  suivre  les  courbes  dans  leur  cours  et 
apprendre  à connaître  les  particularités  qu’elles  offrent  sous  ce 
rapport.  Je  me  suis  donc  occupé  plus  spécialement  des  différentes 
formes  qui  peuvent  se  présenter , dans  des  circonstances  diffé- 
rentes , chez  les  courbes  cycloïdales  prises  en  général  ; tandis  que 
M.  Cramer  s’est  proposé  de  donner  une  théorie  complète  de  ces 
courbes,  en  y appliquant  la  méthode  analytique  pure. 
1.  Construction  et  calcul  du  rayon  de  courbure 
d’une  ligne  cycle ïdale. 
Soient  R = f{u)  et  R'-=^F{v) 
les  équations  essentielles  des  deux  courbes,  la  première  repré- 
sentant la  courbe  génératrice,  la  seconde  la  courbe  directrice. 
Au  sujet  de  ces  équations,  on  suppose  seulement  que,  lorsque 
les  courbes  se  touchent  en  un  point  où  l’on  pour  la 
première  courbe  et  v — pour  la  seconde , les  valeurs  corres- 
pondantes de  ^ et  7^'  ont  des  signes  égaux  ou  contraires,  sui- 
vant que  les  rayons  de  courbure  des  deux  courbes  sont  situés 
au  même  côté  ou  aux  côtés  opposés  de  la  tangente  commune. 
En  effet,  si  d s désigne  l’élément  d’arc  de  la  première  courbe, 
et  ds'  celui  de  la  seconde,  le  même  signe  doit  toujours  être 
attribué  à ces  différentielles,  puisque  le  point  de  contact  com- 
mun, en  avançant  le  long  de  la  tangente  commune,  parcourt  à 
la  fois  les  deux  courbes.  La  question  de  savoir  si  R et  R'  ont 
des  signes  égaux  ou  opposés  dépend  donc  uniquement  de  du  et  de 
dv^  si  celles-ci  sont  toutes  les  deux  positives,  — c’est-à-dire,  si 
la  tangente  doit  tourner  dans  le  sens  des  aiguilles  d’une  montre 
pour  parcourir  chacune  des  deux  courbes , — J?  et  i?'  se  trou- 
vent toutes  les  deux  à droite  de  la  tangente  ^sidueidv  sont  l’une 
et  l’autre  négatives  , R et  R'  sont  situées  toutes  les  deux  à gauche 
de  la  tangente;  mais  si  du  et,dv  prennent  des  signes  opposés, 
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