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C.  H.  C.  GRINWIS.  SUR  LA  DÉTERMINATION,  ETC.  131 
surtout  a puissamment  contribué  à rendre  cette  intégration  exé- 
cutable , et  il  a même  indiqué  pour  cet  objet  une  méthode  générale. 
Par  une  marche  toute  différente,  où  Ton  part  d’une  forme 
intégrale  donnée  par  définition,  on  reconnaît  que  dans  beaucoup 
de  cas  simples  de  mouvements  la  détermination  de  la  fonction 
caractéristique  s’obtient  très  facilement.  Dans  le  cas  d’un  point 
matériel  (auquel  nous  nous  bornons  ici),  il  suffit,  en  effet,  que 
le  mouvement  soit  convenablement  décomposé  suivant  deux  direc- 
tions perpendiculaires  entre  elles,  de  façon  que,  par  l’application 
des  principes  fondamentaux  de  la  dynamique,  on  puisse  donner 
une  forme  simple  à l’expression  de  la  force  vive  dans  une  de  ces 
directions;  une  transformation,  qui  se  présente  d’elle-même, 
conduit  alors  immédiatement  au  résultat  désiré. 
Nous  considérerons  successivement  trois  cas  importants  de  mou- 
vement. 
2.  Prenons  pour  premier  cas  le  mouvement , dans  un  plan  ver- 
tical , d’un  point  matériel  soumis  à la  seule  action  de  la  pesanteur. 
Déterminons  le  mouvement  par  rapport  à deux  axes  de  coor- 
données X Qt  Z ^ l’un  horizontal , l’autre  vertical , ce  dernier  dirigé 
dans  le  sens  de  la  pesanteur , de  haut  en  bas.  En  désignant  alors 
par  V la  fonction  caractéristique  et  par  T la  demi-force  vive 
du  point , nous  avons , d’après  la  définition  donnée  par  Hamilton , 
F=2  ^Tât (1) 
intégrale  qui  doit  être  prise  entre  0 et  t. 
Si  les  demi-forces  vives  dans  la  direction  horizontale  et  dans 
la  direction  verticale  sont  représentées  respectivement  par  T,  et 
2^2 , on  a 
F = 2|  T,dt  + 2j  T^dt 
(2) 
OU 
rp  m /dx\^  ^ m fdz\ 
‘"”2  W/’  ^~^2\dt) 
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