DE  LA  MOINDRE  ACTION. 
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Remarquant  que 
ds  s dy  d^  y 
dzd'^  Z 
dx  dx"^ 
dxdx^  dxdx"^ 
ces  équations  peuvent  encore  se  réduire  à 
ij/ 
iA 
1 d“ 
dz‘^ 
dx^ 
(p 
^dx 
\ dx^J  \d  y dxdx’ dx  L\  dx 
dx 
ds"^ 
dx^ 
dz 
(p 
dx 
ds‘^ 
r dz'^\d’^y  dydzd'^z'^ 
L V dx"^)  dx‘^  dx  dx  dx"^! 
‘^\d^z  dydzd'^yl ^ 
dxdxdx^J 
dx^J  dx"^ 
dx^ 
dcp 
où  maintenant  — est  dérivée  partielle.  Multipliant  alors  la 
d X 
première  par  1 + et  la  seconde  par 
dx^  dxdx 
somme  des 
produits  donne  après  réduction, 
d^ 
dx^ 
d y dxdx 
ds^ 
dx^ 
obtient 
d^  Z 
dy)  dy  dz 
î 
dz  dxdx 
ds^ 
d x"^ 
lesquelles  sont  les  équations  différentielles  de  la  courbe. 
Lorsque  celle-ci  est  plane  , une  seule  suffira  ; ainsi  la  première 
donne  immédiatement  pour  la  courbe  dans  le  plan  des  xy^  qui 
engendre  une  aire  minimum  en  tournant  autour  de  l’axe  des  x^ 
si  l’on  y fait  ^>-=.  y ^ 
. dy“^  d‘^  y 
dx"^  ^ dx'^ 
ce  qui  est  l’équation  différentielle  de  la  chaînette. 
