DE  LA  MOINDRE  ACTION. 
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force  dont  ^ cp^  serait  la  fonction  des  forces,  et  d’après  (4)  la 
fonction  (p  représente  la  vitesse  de  ce  mouvement. 
Réciproquement  il  suit  de  là  le  principe  nommé:  en  effet, 
quand  un  point  matériel  libre  est  soumis  à l’action  d’une  force 
motrice,  dont  X,  Y et  Z sont  les  composantes  parallèles  aux 
axes  des  coordonnées,  si  l’on  y ajoute  une  force  N normale  à 
la  trajectoire , les  équations  du  mouvement  seront 
Ç^  = X + Ncosa, (5) 
dt^  ' ’ 
— Z N cos  Y , 
dt^ 
où  les  cosinus  des  angles  directeurs  «,  et  / de  la  force  nor- 
male doivent  satisfaire  à la  condition 
dx  ^ dy  dz  „ 
cos  a — -i-  cos  P -j-  cos  y — = 0. 
dt  ‘ dt  dt 
En  donnant  à N des  valeurs  différentes , on  peut  faire  décrire 
au  point  des  courbes  différentes  entre  deux  extrémités  fixes , parce 
que  les  valeurs  de  ^ et  ^ en  fonctions  de  t contiendront  deux 
constantes  arbitraires,  et  quand 
X dx  + Y dy Zdzzzzd.\p[x^y^z)^ 
c’est-à-dire,  qu’il  y ait  une  fonction  xp  des  forces,  en  sorte  que 
l’équation  des  forces  vives  subsiste , on  aura , que  N soit  nul  ou 
non,  dans  tous  les  cas  pour  la  vitesse  V la  même  fonction  de 
x^  y et  z^  savoir: 
z=z2  xp  (x  ^y  ^ z)  const,  ; 
donc,  si  l’on  fait  dans  (3) 
(p‘^  2 xp  {x  ^ y ^ z)  + const. , 
l’intégrale 
J \/  2 xp  (x  y y J z)  -h  const.  ds,  ou  J v d s 
deviendra,  en  vertu  de  ce  qui  précède,  généralement  minimum 
pour  des  valeurs  de  ^ et  2:  en  fonctions  de  t , déterminées  par 
