DE  LA  MOINDRE  ACTION. 
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, / -B  — " 
5 £,=£',  y -^-=e  , 
B'  et  « étant  deux  nouvelles  constantes, 
X — J'  — « X — J'  — ne 
^ ~ ^ -h  e 
et  de  la  même  manière  la  seconde  se  réduit  à 
X — A'  — ^ X — A — ^ 
z=  C'  ^ ^ e 
tandis  que  la  relation  {a)  devient 
= 4 -h  4 C' , 
de  sorte  qu’il  n’y  a en  tout  que  cinq  constantes  A , B\  C\  A'  + a 
et  A'  A-  J que  l’on  pourra  déterminer  si  les  coordonnées  des 
points  extrêmes  sont  données.  Si  ces  points  sont  dans  un  même 
plan  avec  l’axe  des  la  courbe  sera  la  courbe  plane  qui  par 
révolution  autour  de  cet  axe  engendre  la  surface  minimum. 
Soit  à trouver  la  brachistochrone  pour  un  point  pesant.  Prenant 
l’axe  des  2;  dans  le  sens  de  la  pesanteur,  l’intégrale 
«0) 
où  Zq  et  2,  sont  les  ordonnées  du  point  de  départ  et  du  point 
d’arrivée,  devra  être  minimum.  Ici  l’on  a 
1 
\/(«— «0/ 
et  les  équations  (3)  deviennent: 
d^x Q d'^y Q d'^z 1 
dt‘^  ’ dt"^  ’ dp  2(2  — 
dont  les  deux  premières  montrent  que  la  courbe  sera  plane  ; on 
peut  donc  supposer  qu’elle  soit  située  dans  le  plan  des  xz^  et 
