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a.  F.  W.  BAEHR.  SUR  LE  PRINCIPE 
L’on  voit  tout  de  suite  qu’il  sera  satisfait  à cette  équation, 
en  posant 
d^x dcp 
dp  ^ dx 
, dF 
K — — , 
dx 
(8) 
d'^if  dcp  . dF 
dp  dy  dy 
d‘^  Z dcp  . dF 
dt^  dz  dz 
X étant  une  fonction  inconnue,  pourvu  que  l’on  prenne 
ds 
ce  qui  s’accorde  avec  les  trois  précédentes  équations , qui  donnent 
ds  d^  s dcp 
dtdP  ^ dt 
Ces  équations  sont  précisément  celles  du  mouvement  d’un  point 
matériel  qui  doit  se  mouvoir  sur  une  surface  F zi:  0 , sous  Faction 
d’une  force  pour  laquelle  cp^  est  la  fonction  des  forces,  et  la 
fonction  donnée  qp  est  alors  la  vitesse  de  ce  mouvement.  Réci- 
proquement on  conclut  de  là  , comme  dans  le  cas  du  point  libre , 
au  principe  de  la  moindre  action  pour  le  mouvement  d’un  mobile 
sur  une  surface  dxe,  c’est-à-dire:  lorsqu’un  point  matériel,  assu- 
jetti à rester  sur  une  surface  fixe , est  soumis  à Faction  de  forces 
pour  lesquelles  l’équation  des  forces  vives  à lieu , l’intégrale 
Jvds , prise  entre  deux  extrémités  fixes , sera  généralement  moindre 
pour  la  courbe  qu’il  décrit , qu’elle  ne  le  serait  pour  toute  autre 
courbe  terminée  aux  mêmes  points,  et  qu’il  décrirait  sur  cette 
surface,  si  l’on  ajoutait  des  forces  normales  à la  trajectoire,  ce 
qui  ne  change  pas  l’expression  pour  la  vitesse. 
Soit  à trouver  la  brachistochrone  pour  un  point  pesant  assu- 
jetti à se  mouvoir  sur  la  surface 
F {x,  y, -z)  = 0. 
r 
