DE  LA  MOINDRE  ACTION. 
175 
A ces  équations  on  peut  joindre  une  relation  arbitraire  entre 
une  des  variables  et  l’indépendante  ou  entre  z et  t. 
Remarquons  aussi  que  si  l’on  développe  leurs  seconds  termes, 
d X d'il 
et  qu’ensuite  on  les  multiplie  respectivement  par  _ , ^ et 
dz 
dt  ’ 
la  somme  des  produits  donne  l’identité 
d(f>  d s 
dt  dt 
Si  donc  on  prend 
d‘^  s ds"^  d cp 
^ dt^  dt^  dtds 
dt 
ds 
ce  qui  met  en  évidence  la  propriété  mécanique  de  la  courbe 
cherchée,  on  obtient,  développant  les  seconds  termes  de  (b)  et 
transposant,  immédiatement  les  équations  (3). 
Désignant  respectivement  par  K,  /iT' , A""  les  premiers  membres 
de  (6) , la  partie  de  la  variation  de  l’intégrale , qui  reste  sous  le 
signe  intégral,  est 
K 8 X K'  d y K"  ô z'^ 
lorsqu’il  n’y  a pas  de  relation  générale  entre  x^  y et  0,  les 
variations  5^^;,  8 y et  8z  sont  indépendantes  entre  elles , et  chaque 
terme  séparément  doit  être  égalé  à zéro , pour  les  conditions  du 
maximum  ou  minimum;  mais  quand  ces  fonctions  doivent  satis- 
faire à une  équation 
F{x,y,z)r=Q, 
l’on  doit  avoir 
dF  ^ dF  ^ , dF  ^ ^ 
- 8x  -\-—8y  —8z  = 0-, 
dx  dy  dz 
employant  alors  la  méthode  des  facteurs  indéterminés,  on  aura 
pour  ces  conditions 
