D.  BIERENS  DE  HAAN.  NOTE  SUR  LE  NOMBRE  DE  FOIS , ETC.  375 
Afin  de  trouver  dans  le  développement  tous  les  termes  à fac- 
teur iü9-=ziü^io9—^^  il  faut  chercher  dans  le  produit  de  ces  deux 
séries  les  termes  à facteur  w9~^  ^ à savoir 
k9-^l^  . Z. 
X W9—^ 
\9-^!^ 
h R 
iv^ 
1 
k.k  — \ 
-h îü 
1 2 
1^g  — k—%/\ 
X — W9—^  — ^, 
\g  — A— 6/1 
],g-k-\y\ 
X 
kk  — \ k — 2 
1 2 3 
X ; W9—^—^^. 
\g~k—\2)fl 
Donc  la  somme  cherchée  donne  ici 
riig . k)  = 
k9-k/\ 
\9-k/i 
k k9~f^—^/^ 
\ Ig-k-^/l 
+ 
kk—\  k9-k~n/\ 
lg—k~n/l 
Jck—lk~2  k9-^-i^/^ 
l ^~2  3~  Jÿ-i-is/i 
(1) 
Cette  série  s’arrêtera  aussitôt  qu’une  des  facultés  numériques 
deviendra  zéro  ou  négative. 
On  peut  réduire  encore,  dans  chaque  terme,  le  quotient  des 
facultés  à un  coefficient  de  binôme  respectif,  lorsqu’on  multiplie 
son  numérateur  et  son  dénominateur  par  : l9-^—^^/^- 
car  alors  on  trouve 
kg  - k-6a/l  1— 6a/l  l)/î:— 1/1  
Ig —k — 6«/l  \k~l/l  \g—k — 6a/l  \k — 1/1 
— 1 / |U— i/ 
^ ^ P-1/1  ^ ^ V A:— 1 J 
La  formule  (1)  devient  donc 
Le  dernier  terme  serait  ( — k^  \ ; mais  puisque 
toujours  g ^ 6A;,  on  a g — ^k  — 1<0;  par  suite  ce  terme 
