376  D.  BIERENS  DE  HAAN.  NOTE  SUR  LE  NOMBRE  DE  FOIS  , ETC. 
s’annule , 
et  c’est  le  précédent,  ( — 1)^—1 
■G-oe-i-n 
qui  termine  la  série.  Elle  devient  donc 
6A;+5\ 
k—1  / 
où,  dans  l’application,  il  faut  omettre  tous  les  termes  où  les 
puissances  g — 6 A:  — 1 deviendraient  négatives. 
5.  Maintenant,  tâchons  de  démontrer  la  relation 
n{g.k)  = n{u+Jc~g.k)  = nçik—g.k)- 
D’après  la  formule  (1),  le  premier  terme  du  développement 
de  Yngk—g.k)  est 
ygk-g-k/\  ^ k^h-g fl  ^ xu~g-\/\  _ (6A;  — ^ + 1)^-1/^ 
Yik—g—kj\  16^ — g j\  1^— 1/1  \^k~g /I  ^k—} /I 
et  le  terme  (k — a-hl)ième,  sauf  le  facteur  ( ^ 
\k—aj  \aj 
\ ^k — g — 6(A — a)  j\ 
\U—g/\  ^ ^ l^a-g/l'~‘ 
l)y^— Æ (6a— ^ + , ^\k-a(^\\k—l^9—^^~^y'~^^~^ 
^ ^ ik—\/l  \ J \ J \k-l/l 
Donc  on  voit  que  les  termes  de  la  série  (2)  se  reproduisent 
en  ordre  contraire,  avec  des  signes  opposés.  Mais,  comme  on 
va  le  voir,  cette  série  doit  être  égale  à zéro,  aussitôt  que  l’on 
ne  rejette  pas  le  dernier  terme;  par  conséquent,  ce  dernier 
terme,  avec  le  signe  opposé*,  sera  égal  à la  somme  de  tous  les 
termes  précédents.  Or,  cette  somme  dans  la  seconde  série  est 
( — 1)^^^  1 a = c’est-à-dire 
qui  en  réalité  est  le  premier  terme  de  la  série  (2). 
Pour  les  termes  suivants , cette  propriété  est  démontrée  d’une 
