D.  BIERENS  DE  HAAN.  NOTE  SUR  LE  NOMBRE  DE  FOIS  , ETC.  377 
manière  absolument  analogue:  de  sorte  qu’il  en  ressort  la  vérité 
de  la  relation  n^g^u)  = en  supposant  que  la  somme 
de  la  série  (2)  est  bien  zéro. 
Pour  k = 2 on  a ^ < 12 , par  suite 
.„.»=(»  7 ('7  ')+("  7 *’) =0i 
tandis  que  pour  on  trouve  zzz  g — 1 , 
et  pour  7 ^ 12  de  même  ={g — 1) — 2{g — 7)=13 — g. 
Pour  A:  = 3 on  a ^^18,  donc 
= M(5'-l)(S'-2)-3(5r_7)(ÿ-8+3(5f— 13)(5t-14)-  (^f-19^— 20)]  = 0; 
mais  pour  3 < ^ < 8 on  la  trouve  = | (g — \){g — 2) , 
8^^^  13  -2  [— +21^  — 83], 
1 3 ^ ^ ^ 1 8 =1  — 39^  + 380]  = i {g- 1 9)(^~ 20). 
La  sérié  totale  pour  n{g,k)  s’annule  donc  réellement  pour  les 
valeurs  spéciales  2 et  3 de  h.  Dans  le  cas  général,  il  est  clair 
que  cette  série  ne  peut  s’annuler  que  lorsque  s’annulent  tous 
les  coefficients  de  chaque  puissance  de  g — lz=.g.  Afin  de  faire 
voir  que  cela  arrive  en  effet,  prenons  a au  lieu  de  6,  puis- 
que cette  généralisation  aidera  plutôt  à rendre  la  démonstration 
plus  évidente  5 et  multiplions  par  l^~i/i,  alors  nous  aurons 
(g,  _ a)i-i/-i  + (g  _ 2a)k-\/~i  — . . . 
G)  (î ^ (4) 
Mais,  comme  on  le  sait, 
q^/-^=q^~q  , = g4  _ 6î3+llj2—  Qq  , 
• q[i/-  1=2»— 3j2  + 2g  , g6/-l  — g5  _ IQgB  + 35j3  _ 5Qg2  + 24q  , 
par  conséquent,  on  doit  avoir  en  général 
gM/.i=gi-i_A^.2gi-2  ^ Ai-32^-3  + . . Aiqi  + . . + A,2, 
