384  D.  BIERENS  DE  HAAN.  NOTE  SUR  LE  NOMBRE  DE  FOIS  , ETC. 
Cette  formule  nous  fait  voir  que , pour  ^ = 2Â;  + 1 , le  premier 
terme  s’annule;  dans  le  second  terme  on  a 
— 12  (ÿb  + 2)  ^ -h  + 68A:  + 84)  = — q-  SA:  + 60; 
mais  la  faculté  (2A; — 6)^-1/— ^ a pour  dernier  terme  k — 4;  donc 
cette  faculté  s’annule  pour  k <4^. 
Mais  lorsqu’on  a ^ zz  2A;  + 1 > 9 , ce  second  terme  ne  s’évanouit 
plus,  et  plus  tard  il  en  est  de  même  pour  les  autres  termes. 
Par  conséquent  on  n’a  jamais  W(2^r+i./fc)  = ^(2^+i./t+2) , depuis  le 
moment  où  k devient  plus  grand  que  4;  et  ainsi  les  cas  cités 
plus  haut  sont  les  seuls  possibles. 
Si  l’on  rapproche  les  deux  discussions  précédentes , on  en  déduit 
la  conséquence  que  la  relation  zz  n(ç./c-\-i)  ne  pourra  se  réali- 
ser en  général , sauf  dans  les  cas  où , bien  fortuitement , les  termes 
des  deux  séries  respectives  se  détruisent  arithmétiquement. 
8.  Appliquons  la  théorie  précédente  à un  jeu  de  hasard  anglais, 
nommé  krahs^  que  l’on  joue  avec  trois  dés. 
Appelons  A le  joueur  ou  banquier,  ici  le  tenant^  qui  tient  le 
cornet  aux  dés , et  B son  antagoniste , le  servant , qui  après  chaque 
coup  remet  les  dés  dans  le  cornet.  On  a ici  les  règles  suivantes. 
a.  En  premier  lieu  A jette  les  dés,  pour  livrer  la  chance  de 
B:  ce  sont  seulement  les  nombres  8,  9,  10,  11,  12  ou  13  qui 
peuvent  y servir;  les  autres  coups  ne  comptent  pas. 
b.  La  chance  de  B étant  livrée,  le  tenant  doit  se  couvrir ^ 
en  jetant  pour  lui-même. 
Lorsque  le  nombre  amené  est  le  même  que  la  chance  du  ser- 
vant B,  déterminée  suivant  la  règle  a,  le  tenant  A fait  une 
répétition,  et  il  gagne. 
Vis-à-vis  de  cette  chance  de  gagner , il  doit  se  trouver  des 
chances  de  perte.  C’est  à quoi  servent  les  krabs^  c’est-à-dire 
les  coups  3,  4,  5,  6 et  15,  16,  17,  18.  Mais  ces  krabs  valent 
d’une  manière  différente,  suivant  les  divers  cas  de  la  chance  du 
servant  B. 
c.  La  chance  de  B étant  10  ou  11,  par  la  règle  a:  alors  le 
tenant  A gagne  lorsqu’il  jette  respectivement  10  ou  11  (comme 
