56 p. H. SCHOUTE. SUR LA CONSTRUCTION DE COURBES 
partie impropre. De cette manière on reconnaît aussi , qa'àla 
droite A B passant par deux points fondamentaux ne peut pas 
correspondre un lieu géométrique de points Q', parce que de 
la section conique correspondante par A', B', C se détachent 
comme parties impropres les deux droites B' C et C A' ; etc. 
La considération des parties impropres des courbes corres- 
pondantes , qui vient d'être appliquée , constitue une ressource 
indispensable pour la recherche de la nature de la courbe en 
2' qui correspond à une courbe donnée en -T. Parce qu'une 
courbe quelconque C^* du degré n en 2" est coupée en 2n points 
par la conique passant par A, B, C de 2" qui correspond à une 
droite quelconque t de 2', cette droite t de 2' aura également 
2 n points communs avec la courbe de 2" qui correspond à C», 
et cette courbe sera donc du degré 2 n. Parce que C« est coupée 
en n points par chacun des côtés du triangle A B C , la courbe 
trouvée C'~ ^* de 2 aura des points multiples de l'ordre n aux 
points A', B', C. Mais ce cas général se modifie dès que la 
courbe supposée passe une ou plusieurs fois par un des points 
A , B , C ; chaque fois que la courbe passe par un des trois 
points fondamentaux, la droite fondamentale correspondante 
se détache de C^^^ Si donc la courbe donnée passe a fois 
par A , ^ fois par B et / fois par C , la courbe coiTespondante 
de 2' — qui, jointe à « fois la droite B'C, à iS fois la droite 
C'A' et à / fois la droite A'B', forme une courbe du degi*é 2n , 
à points multiples de l'ordre n en A', B', C — est une courbe 
du degré 2n — (a + -i- /) , ayant en A' un point multiple de 
l'ordre n — ^ — / , en B^ un point multiple de l'ordre n — ; — « , 
et en C un point multiple de l'ordre n — a — 15. En posant 
71 = 2 nous trouvons qu'à une conique quelconque C^de-S" 
correspond en 2"' une courbe du quatrième degré à trois points 
doubles A', B', C ; qu'à une conique passant par A se rap- 
porte une courbe du troisième degré , qui passe une fois par 
B' et C et deux fois par A'; qu'avec une conique passant 
par A et B concorde une conique passant par A' et B' enfin , 
qu'une conique passant par A, B, C conduit à une 
