UNICURSALES PAR POINTS ET TANGENTES. 6S 
touchent en A la polaire commune de C par rapport à C,^ 
et à C,^. Mais les courbes, qui dans cette transformation 
correspondent à des courbes données, peuvent présenter des 
singularités auxquelles l'involution quadratique régulière or- 
dinaire ne saurait donner lieu. Ainsi , à une conique arbitraire 
correspond, dans ce cas particulier, une courbe du qua- 
trième degré, à deux branches qui se touchent en S suivant 
la droite de jonction des deux points A et B confondus 
en S; branches qui ou bien se prolongent aux deux côtés 
de S, ou bien sont toutes les deux imaginaires aux 
deux côtés de S , ou bien sont seulement réelles à l'un des 
côtés de S mais alors situées du même côté de la tangente 
A B, selon que la conique donnée coupe la droite A B en 
deux points réels , en deux points imaginaires , ou en deux 
points coïncidents; il se produit donc en S une singularité 
d'ordre supérieur, qui ne doit pas être confondue avec un 
point de rebroussement , mais qui doit être considérée comme 
la coïncidence de deux points doubles 
^) Si , dans le cas de la coïncidence de A et B (fig. 4), on prend la tan- 
gente commune en A pour côté x = 0^ la droite AB pour côté ?/ = 0, et 
la corde commune S3 pour côté z = 0 du triangle de référence, les 
équations des deux coniques qui déterminent la transformation peuvent 
être données sous la forme ±y'^ — 2x z = 0 eta':±î/* — 2 X x z = 0^ 
où le signe supérieur s'applique lorsque S3 et sont imaginaires , le signe 
inférieur lorsque S3 et sont réels. En admettant ici la première sup- 
position, l'intersection des polaires du point x\ y\ z' est déterminée par 
les équations x {x' — z')-{-y y' —zx! = 0 et a: {x' — X z') -\- y y' — X z x' — 0, 
ou X x' -\- y y' = 0 et .x z' -f- z a:;' = 0 , d'où l'on déduit les relations 
x:y:z = — x'y' : x"^ : y'z'. Si l'équation de la courbe donnée est 
P x^-+- Q ?/*-}-R z'-+-2 S y z + 2 T z x-h2 V xy~0, celle qui Idi correspond est 
Px* y -\-Qx'' -\-Iiy^ 2Sx^ y 2 — xy^ z — HJ x' y = 0, qui peut 
être étudiée algébriquement. 
Parce que z" manque, cette courbe passe par S; parce que z' manque, 
la courbe a en S un point double, dont les tangentes, obtenues en posant 
le coefficient de z* égal à zéro, coïncident avec A B. En écrivant 
l'équation sous la forme y* (P x^ — 2Tx z-i-R z^)—'iy (Ux—Sz) x^-\-Q x"* —0, 
qu'elle prend quand on l'ordonne suivant y et en représentant 
Archives Néerlandaises, T. XX. 5 
