66 p. H. SCHOUTE. SUR LA CONSTRUCTION DE COURBES 
Lorsque trois points S se confondent en un même point , les 
trois points fondamentaux A, B, C se réunissent également 
en ce point. Dans ce cas, la correspondance persiste, et au 
réseau des droites de ^ correspond un réseau de coniques de 
qui, en ce point de coïncidence, s'osculent bien entre 
elles, mais n'osculent pas les coniques données C,^ et C^-. 
^ par iti et- par J, on a u='(R — 2 T j P J») + 2 /i (S — U J) + Q = 0, 
0?* z 
ou, ordonnée suivant (î , R ^ » -f- 2 S ,a 4- Q — 2 J // (T u + U) -+-P J* .u> =0, 
équation à laquelle on satisfait en posant R^u* -|-2S^a4-Q = Oet (5 = 0, ce 
qui signifie que la courbe est osculée en S par les deux coniques 
y z — IL^x"^ et î/ z = lorsque et^<, sont les racines de l'équation 
R..»+2Siu + Q = 0. 
Si, dans la relation entre ^ et J, nous remplaçons par 4- A u, 
où représente ou bien ou bien et A u un petit accroissement, 
A ^ est déterminé par la condition (R 4- S) A — (T + U) = 0 
et par conséquent réel, tant pour de petites valeurs positives que 
oc 
négatives de et de - ou (T, lorsque est réel, c'est-à-dire, lorsque les 
racines et sont réelles. Pour des racines réelles (i^ et qui diffè- 
rent l'une de l'autre, les deux branches passent donc de part et d'autre 
de S, tandis qu'elles sont évidemment toutes les deux entièrement ima- 
ginaires dans le cas où et sont imaginaires. Mais si et sont 
égales l'une à l'autre , la substitution de A pour donne la relation 
R(A,")* — (^."i (Tj"i H-U) = 0, et alors A i^* est réel, ou bien seulement 
X 
pour des valeurs positives de x et de - ou J, ou bien seulement pour des 
valeurs négatives ; de sorte que les deux branches , dans ce cas , ne passent 
pas de part et d'autre de S, mais sont situées du même côté de A B (point 
de rebroussement de 2^ espèce). 
Si donc tout dépend de la nature des racines de l'équation Ru »-|-2S^-hQ=0, 
et si nous avons des branches continues pour S* — RQ^O, un point 
isolé avec direction déterminée de tangente pour S* — RQ <0, et un point 
de rebroussement de seconde espèce pour S* — RQ = 0, d'un autre côté 
l'équation R2»-|-2Sî/z-|-Qj/* = 0 donne les points d'intersection delà 
conique donnée et de la tangente commune. Or, de là résulte immédi- 
atement ce qui a été énoncé plus haut. 
Lorsque /^'i et sont toutes les deux nulles, une droite se détache de 
la courbe du quatrième degré, par suite de Q = 0, et la courbe restante 
du troisième degré oscule cette droite, parce qu'on a encore S = 0. 
