90 p. H. SCHOUTE. SUR LA CONSTRUCTION DE COURBES 
le dernier est situé à l'infini, et qu'elle passe par les points 
donnés P', , P', , P'3 , on n'a qu'à fixer le point central A sur 
la droite C D pour être à même de déterminer les trois points P , , 
P2 , P3 et le cercle mené par ces trois points se convertira, 
par la transformation de Mac Laurin indiquée, en la courbe C*. 
Mais cela n'empêche pas , que théoriquement une courbe 
unicursale quelconque , ne passant pas par les points 
cyliques et ayant trois points doubles réels, ne puisse être 
déduite du cercle. Car , B , C , D étant les points doubles , et 
P', , P'2 . . . P's les cinq points simples qui avec les points 
doubles déterminent la courbe , on peut d'abord prendre comme 
directrice une droite arbitraire passant par D , puis encore 
comme point central A un point arbitraire de G D , pour déter- 
miner ensuite les cinq points P, , Pj . . . P5 qui dans la 
transformation de Mac Laurin maintenant indiquée corres- 
pondent aux cinq point simples donnés de , et mener par 
les cinq points déterminés la conique correspondant à C*. 
Or , comme on peut disposer de deux grandeurs , la direction 
de la droite / passant par D et le lieu du point A sur 
CD, on peut assujettir cette conique à deux conditions et 
trouver par conséquent un certain nombre de cercles ^) qui 
Ce nombre est huit. En effet, si dans le triangle de référence 
D C B on représente le côté D C par x = 0^ C B par = 0 et B D par z =. 0, 
qu'on prenne z = mx pour équation de la directrice /' passant par D, 
et qu'on détermine le point A par les équations z = ny etx=0, la courbe 
/i 1 1\ 
f{- - J = Ode 2' est convertie par la transformation de Mac Laurin 
\x' y zj 
en la courbe f(y^ x ^ \— 0 de 1\ Elle transforme par con- 
séquent la courbe , B, C, D, E, ijjc y ' ~z) ~ ^ 
A m 2 n 2 /y 2 -{-B n 2 ,x ^ 4- C{m x — n y — z) 2 -|-2 Dmn x(m x — n y — 2)+ 
-\-1Em n y {mx — ny — z) -j- 2 F m 2 >? 2 xy = 0 , 
et cette conique de 2' est un cercle lorsque les conditions suivantes 
2 m 2 {Bn 2 4-2Dn4-C)+a2 n 2 m 2 — 2 Em 4- C) — 2 a {F m n—Dn—Em) - 
= c2 n2 {A m2 —2Em-i-C)-\-b2 C-[-2b c{Etn— C) - 
= a2 C+c2 m2(5n2+2Dn-4-C) + 2acm(DHH-C), 
