UNICURSALES PAR POINTS ET TANGENTES. 
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se laissent transformer dans la courbe à construire. Mais qu'on 
n'espère pas arriver de cette manière à la construction de la 
courbe C' , car la détermination des cercles en question offre 
plus de difficulté que toute la construction elle-même i). 
Lorsque deux des trois points doubles de la courbe sont 
imaginaires, non seulement par la transformation de Mac 
Laurin elle ne peut pas être déduite d'un cercle , mais elle ne 
peut même être déduite d'une conique. Car dans cette trans- 
formation l'échange de A et B ayant pour résultat l'échange 
des systèmes Z et Z\ il faut que A, B et par conséquent 
aussi C, D, E, donc les trois points doubles B, C, D 
d'une courbe déduite d'une conique , soient réels. Donc , les 
courbes unicursales à deux points doubles imaginaires doi- 
vent être traitées par l'une des deux transformations quadra- 
tiques involutives. C'est ainsi que toute courbe unicursale C^ , 
dont les points cycliques sont des points doubles, se trans- 
forme, au moyen de la transformation par rayons vecteurs 
réciproques relativement au troisième point double pris pour 
centre , en conique. Et lorsque la courbe unicursale a des points 
où a = B ^, 6 = D C et c = C B, sont remplies. Si l'on considère maintenant 
m et comme les coordonnées rectangulaires d'un point P , le nombre des 
cercles est en même temps le nombre des points d'intersection, situés ni 
à l'infini ni à l'origine, des deux courbes 
62^2 {By'i^'2Dy-^C)-\rtaij^{Ax'^—'lEx-\-C)--'lab{Fxy—Ex—Dy)z=: 
- c2 y-1 {Ax'i- -2 Ex -h C) + '±hc{Ex~- + 62 C 
et 
b^x^(Byi + 2Dy+ C) + cay^iAx^—2Ex+ C)-2ab {Fxy—Ex—Dy) = 
= 0"^ x^ {B y2 -h 2 D y + C) -h 'i a c X (D y + C) + C. 
Ce nombre est huit, parce que ces courbes ont aux extrémités des axes 
des points doubles communs, avec des tangentes qui en général ne sont 
pas communes. Mais ces huit solutions peuvent être imaginaires deux à deux. 
^) La recherche analogue de courbes unicursales C à trois points doubles 
réels, qui ne passent pas par les points cycliques, a été à dessein omise 
daEiS ce qui précède. Elle peut avoir lieu entièrement de la manière ci- 
dessus indiquée. Dans ce cas, on a simplement A = 0 (lorsque la courbe 
C a un point double en B et passe une fois par C et D) et le nombre 
des solutions reste égal à huit. 
