210 
D. J. KORTEVVEG. SUR LA STABILITE 
d'où l'on déduit 
u 
du/ 
ds 
, du' 
(20) 
k représentant une constante arbitraire, différente pour chacune 
des trajectoires du faisceau it = Cu". De cette relation décou- 
lent immédiatement les théorèmes suivants: 
Théorème I »). Lorsque les trajectoires d'un faisceau u=. Cu' 
possedenit des foyers cinétiques, il y a, entre chaque couple de ces 
foyen-s, un foyer unique de chaque autre faisceau de trajectoires. 
Fig. 2. 
Soient, en effet, P, et 
deux foyers consécutifs de la 
trajectoire u-=:u\ et P, 5,, 
P2 les écarts, en ces points, 
de la trajectoire u = u"; on 
a alors : 
P.S,= 
1^1 
P. S. = 
k 
(21) 
/ du'\ ' ' ' / du'\ 
or, \ et (^-^\ étant nécessairement de signe dif- 
\dsjp, \dsjp, ^ 
fèrent, il y a entre P, et P2 nombre impair de foyers 
de u". Mais il ne peut y en avoir qu'un seul, puisque autre- 
ment, entre doux d'entre eux, il devrait se trouver un foyer de u'. 
Théorème II. Aux divers foyers dun menu faisceau de tra- 
jectoires on trouve toujours les mêmes rapports entre les écarts des 
autres trajectoires. 
On peut démontrer ce théorème en appliquant la formule 
21) à deux trajectoires différentes u" et tt'", ou bien en faisant 
usage de la relation linéaire 
Ou -h C"u" -h CV = 0 (22) 
1 ) Ce théorème peut aussi être démontré à l'aide du principe de la 
moindre action. Voir Thomson et Tait, I, § 358 et suiv.; le théorème n'y 
est pas énoncé, mais néanmoins virtuellement impliqué. 
