DES TRA.TECTOIRÊS PLANES PERIODIQUES. 213 
Un+2 — yt Un +1 + Un = 0, (23) 
Oit X possède, pour chaque trajectoire non troublée, une valeur 
déterminée et par conséquent indépendante du choix de la trajectoire 
=qp(s). 
Démonstration. Il est évident qu'entre les trois intégrales 
Un, Un-^\ et Un -^2 de l'équation linéaire 17) il doit exister 
une relation 
Un +1 = X Un+l + X (24) 
Or, nous allons faire voir, en premier lieu, que les constantes 
X et X , qui entrent dans cette relation ont les mêmes valeurs 
pour toute autre combinaison u'm-= ip {s -\- (m — 1) 'S'), u'm+] 
1= ip {s -\- m S), it'm.+2 -= xp {s -\- {m -\- 1) S) ; et en second lieu, 
que X, doit toujours être égale à l'unité négative. 
Pour ce qui regarde le premier de ces points, nous avons 
donc à montrer que, si la relation 24) existe, on a aussi: 
Um+2 = X u'm +1 + '^lU'm (25) 
Or, en général, u'm est une fonction linéaire des deux so- 
lutions Un et Un +1. Soit donc: 
u'm Z=ZÇ^Un-)r C^Un +1 (26) 
Mais u'm et u'm+iy Un et Un+i, Un+i et Un +2 représentant 
des trajectoires congrues, qu'un déplacement d'une période 
entière fait coïncider Tune avec l'autre, on a donc également : 
U'm.+l = C^Un +1 + C^Un +2 '.' (27) 
u'm+2 := C^Un +2 C^Un +3 (28) 
et, à cause de (24), 
-1-3 = X 1% +2 + X , +1 (29) 
Des équations (26) et (27) il suit alors: 
xt/,''y/2-f-l-|-x,n'îw=c,(xtt« +H-x,it«)-hC2(xit» ^-i-l-Xj'îx» + i) = 
■=.C^Un'^2 C^Un +Z-=u'm-\-2 (30) 
q. e. d. 
