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D. .T. KORTEWEG. SUR LA STABILITE 
(f2s(S H- s) = — G2S(S) T2S (iS 4- s) = ~ T2S(S). . (53) 
On peut laisser s'engendrer de pareilles fonctions au moyen 
de fonctions arbitraires \p2s, en posant 
(S2s(s) = xp2s(s) — 'ip2s(S s) (54) 
D'autre part, on peut démontrer qu'elles se laissent ramener 
en général à la forme 
G2S {s) = q>s ' sm ^ ^ ^ (55) 
En effet, toute fonction continue a2s doit nécessairement pos- 
séder des valeurs zéro. Or, si 02^- («) =r 0, l'expression 
<f= ''f , (56) 
sin "(^-«^ 
est en général une fonction restant finie, qui présente la période 
S, puisque, après l'accomplissement de cette période, le numé- 
rateur et le dénominateur ont tous les deux changé de signe. 
D'une manière plus générale encore, on peut poser 
j,s(s)=9,.[sin!^^f=îil]'' (57) 
où p représente un nombre impair, entier ou fractionnaire. 
On peut démontrer que toute intégrale de l'équation aux 
différences (46), pour k < — 2, doit nécessairement avoir la 
forme (52). Les deux fonctions 62s et t2s sont déterminées 
par des équations différentielles, qui s'obtiennent, comme (49) 
et (50), par substitution dans l'équation (17). 
Le cas X < — 2 pourrait d'ailleurs être ramené au cas x > -f- 2. 
Pour cela, on devra considérer, non pas S, mais 2 S comme 
la période proprement dite. Les valeurs Vm, Un-h2 et Un+é sont 
alors des écarts correspondants de périodes successives. Mais, 
quand Un — x u-^ 4-1 4- +2 = 0, on a : 
Un — (x^'-^2)u«-+-2 -h W»H-4 = 0, ...... (58) 
où x'^ — 2 est positif et > 2, lorsque x < — 2. 
