DES TRAJECTOIRES PLANES PERIODIQUES. 219 
14. Soit, en troisième lieu, -|-2>h> — 2, et soient cos 6 
~h sin â \/ — 1 et cos â — sinâ \/ — 1 les racines imaginaires 
de l'équation (46), où cos ^ =:-^ et où ^ peut toujours être pris 
entre tt et 2 tt. L'intégrale générale de l'équation aux diffé- 
rences finies est alors: 
n = q)^ . cos (^-^ -h A ^ 4- 1/;^ . sin ^~ 4-^4^.. (59) 
A raison de l'équation (17), les fonctions cp^, et i//^ doivent 
satisfaire aux équations différentielles simultanées: 
^ ds"^ S ' ds Vq ds ' ds Svq ' ds ^ 
^ d^xp 2â dcp ^ 1 dvf, dxp â dvo _^ 
^ ds^ S ' ds Vq ,ds ' ds Sv^, ' ds ^ 
= 0. (61) 
Il faut, en effet, qu'on ait identiquement 
X cos(^f| H-A^H-cusin^^ + A^ =0; ..(62) 
or, à cause de la dissimilitude des deux périodes S et ^ S y 
* u 
cela n'est possible que si les deux conditions (60) et (61) sont 
remplies, car autrement on aurait 
'»(i-^)=-:7 « 
ce qui est contradictoire. 
L'équation générale des trajectoires altérées par des per- 
turbations conservatives peut donc s'écrire sous la forme 
u = K .cp^ cos ^-^ + i^-h K . sin + A^, (64) 
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