220 D. J. KORTEWEG. SUR LA STABILITE 
OÙ ^ et sont les deux constantes, qui dépendent des con- 
ditions initiales. 
15. Si, en quatrième lieu, jc = 2 , l'équation (46) a ses deux 
racines égales à -h 1, et l'intégrale de l'équation aux diffé- 
rences (23) possède alors, comme on sait, la forme 
u =: qp^ -i- s t//^, (65) 
où, en vertu de l'équation (17): 
ds^. ds Vq ds ds Vq ds 
L'équation générale des trajectoires qui dérivent par per- 
turbations conservatives d'une trajectoire originelle donnée, 
s'écrit alors: 
u=zK^{(Pg-i- s xj)^^ -hK^^g (68) 
Comme cas exceptionnel, toutefois, il peut arriver que cette 
équation générale ne prenne pas la forme ci-dessus , mais soit 
représentée par l'expression 
u = K^q>g-h K^xp^ (69) 
Il est clair, en effet, que de pareilles trajectoires satisfont 
encore à l'équation aux différences (23) , où x = 2, et elles 
satisfont aussi à l'équation différentielle (17) lorsque, ce qui 
évidemment est possible par exception, la solution ^énem/e de 
cette équation présente la période S. 
Plus loin, nous reviendrons sur ce cas exceptionnel, qui 
est des plus importants. 
16. Lorsque, finalement, y. = —2, et que l'équation (46) a par 
conséquent ses deux racines égales à — 1, il est facile de voir, 
après ce qui précède, que l'équation générale des trajectoires 
