DES TAJECTOIRES PLANES PERIODIQUES. 231 
d'ordre supérieur. Préalablement, toutefois, nous en modifions 
légèrement la forme, en écrivant : 
u = K^^ cos 
(f + '?, + ^), (106) 
OÙ (du moins si l'on ne veut pas laisser varier cette gran- 
deur par sauts |)rusques) n'est pas à proprement parler une 
vraie fonction périodique, mais peut différer d'une telle fonc- 
tion de la quantité ±2p7r {p étant un nombre variable, 
mais entier). 
Après une transformation facile, nous obtenons: 
X = l,, Ç.? + KK Si . ?J. cos + + 
-h ci cos 4- 2^, 4-2 ^) + |l07) 
....-+- /irp.|(r-i).C§. cos ^P^^p^^ + pA^ -h ... .| 
où l'exposant de K et de indique toujours l'ordre de gran- 
deur du terme. 
Examinons maintenant, en premier lieu, l'influence d'un 
terme 
KP.^^/-'KZp.c^os^^ -hpVs-^pA^^Xv . • (108) 
Comme cos H- 4- et sin ,4-^,«? 4-^^ repré- 
sentent des intégrales de l'équation sans second membre, nous 
pouvons les substituer dans la formule (91), si nous y écrivons 
Ip au lieu de jf §• On trouve alors sans peine que la valeur des nou- 
veaux termes restera finie, sauf lorsque ( j> 1) ^ = 0, c'est- 
à-dire lorsque 
{p±l)6 = ^n ou ^ = l^.S, . . . (109) 
ce qui ne peut arriver que si p = 1, ou si les périodes et 
Se sont commensurables entre elles. 
