DES trajp:ctoires planes périodiques. 
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non pas la forme (68) ou (70), mais la forme (69) ou (71). 
Pour fixer les conditions dans lesquelles ce cas exceptionnel 
se présente réellement, nous remarquerons que, en vertu de 
(116), l'équation différentielle (17), lorsque x est égal à 2 ou 
à — 2, doit toujours avoir pour intégrale au moins une fonction 
périodique vs ou V2S' Mais alors, comme on sait, 
-=A^-£^ ......■....(117) 
J 0 
est une seconde intégrale de cette équation. Si maintenante 
ne possède pas de valeurs zéro, la valeur du second facteur 
de cette expression doit croître indéfiniment, et l'expression 
elle-même n'est donc pas périodique. Le cas exceptionnel ne 
peut se présenter que lorsque v possède des valeurs zéro. 
Supposons que v (a^), v [a^) . . . . v [ap) soient les valeurs zéro 
qui se trouvent, en nombre toujours pair, dans la période, 
et soit: 
0 <«, < aj,<^Sou2S. , . . . (118) 
L'expression (117) devient alors, en apparence, indéter- 
minée, raison pour laquelle nous la transformerons. 
Soit z une fonction de s, que nous assujettissons aux con- 
ditions suivantes: 
Zn^-=0; 2;«3=7r; Zrt^=27T; Z(Xp = { — 1) tt, (119) 
Zs+s=p7r -\- Zs, (120) 
dz 
et toujours positif. Une représentation graphique montre 
as 
immédiatement que ces conditions peuvent être satisfaites par 
une infinité de fonctions' z. 
Si maintenant nous posons; 
V = X . sin 2; , . . . (121) 
X, en général, ne possède plus de valeurs zéro. 
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