FLUIDES  SOUS  l’iNFLUENCE  DU  FROTTEMENT. 
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et  que  les  fonctions  satisfassent  aux  équations 
AL  = — 2?,  Al/=  — 2t/,  AiV^z=— 2Ç; 
t)Z/  dM  dN  rv  A n 
^ = 0;  A «p  z=  0. 
d X ü y 0 Z 
■ (7) 
On  peut  voir,  à ce  sujet,  le  mémoire  déjà  cité  de  M,  Helm- 
holtz  sur  les  mouvements  gyratoires.  Si  donc , à un  moment 
donné , on  connaît  les  composantes  de  la  vitesse  angulaire  et  le 
potentiel  de  la  vitesse  tel  qu’il  serait  en  l’absence  du  frottement , 
les  équations  (6)  détermineront  l’état  du  mouvement  à cet  in- 
stant. Mais  l’intensité  d’un  filet  gyratoire  n’est  plus  constante 
durant  le  mouvement.  La  diminution  que  la  force  vive  des  mou- 
vements gyratoires  subit  à raison  du  frottement  interne  peut 
facilement  être  déduite  des  équations  du  mouvement.'  Si  l’on  con- 
sidère un  élément  fixe  c?  r de  l’espace  , l’expression  de  la  force 
vive  contenue  dans  cet  élément  est  i à -h  -f-  en 
prenant  la  variation  par  rapport  au  temps,  et  en  intégrant  sur 
toute  l’étendue  de  la  masse  fluide  , on  obtient 
dT 
oT 
=/!'■-(' 
0 U 
0 V 
V — 
0 t 
w 
0 w 
,3 
d t dt  dt 
T est  la  force  vive  du  fluide  entier;  z=z  -\-  v'^  10"^ . 
Si  l’on  multiplie  les  équations  (1)  successivement  par  i\  w, 
et  qu’on  additionne  , il  vient 
( 
hl  U 
d U 
51 
dv 
dt 
W 
dV 
U — 
dx 
dV 
dy 
W- 
) 
\ dx  dy  d z)  2\  l 
dx  dy 
d{q-^) 
w - ^ ’ 
?) 
H- 
dV  d U d U- 
U + V - +W 
dx  dy  d 
)zj 
f{^u  Au  + V A V + w Aw). 
