H.  J.  RINK.  SUR  QUELQUES  APPLICATIONS  GÉOMÉTRIQUES,  ETC.  461 
1.  On  sait  que  les  intégrales  abéliennes  se  laissent  ramener 
à trois  espèces.  Celles  de  la  première  espèce  ont,  lorsque 
l’équation  F {x  ^ t/)  =:  0 indique  la  relation  existant  entre  x et  y, 
la  forme  : 
F (x,ÿ) 
dy 
d X, 
où  F{x^  y)  et  0{x^y)  sont  des  polynômes  entiers  et  rationnels 
en  a;  et  y,  mais  où  le  degré  de  F{x^  y)  est  de  3 unités  plus 
élevé  que  celui  de  6{x,  y).  Cette  intégrale  jouit  de  la  propriété 
de  conserver  toujours  des  valeurs  finies. 
Or,  le  nombre  de  ces  intégrales  de  la  première  espèce  est 
égal  à ce  que  M.  Clebsch  nomme  le  genre  de  la  courbe  F (x,  y)  — 0, 
{n — \){n — 2) 
et  il  peut  donc  être  représenté  par  pziz — d,  si 
n désigne  le  degré  de  la  courbe  et  d le  nombre  de  ses  points 
doubles  et  de  ses  points  de  rebroussement. 
Le  théorème  d’Abel  peut  maintenant,  en  tant  qu’il  a rapport 
à ces  intégrales,  être  exprimé  ainsi:  Si  la  courbe  F{x^y)~0 
est  coupée  par  une  courbe  9 (a?,  ?/)  — 0,  qui  par  la  variation 
continue  de  ses  paramètres  se  transforme  dans  la  courbe  ip  {x^  y)—  0, 
la  somme  des  variations  qu’une  intégrale  abélienne  de  la  pre- 
mière espèce  subit  sur  les  trajets  parcourus  par  chacun  des 
points  d’intersection,  est  ~ 0. 
Comme  éclaircissement,  je  développerai  le  cas  simple  (auquel 
se  rapportent  aussi  en  premier  lieu  nos  applications  géométri- 
ques) où  une  courbe  du  3^  ordre  est  coupée  par  une  ligne  droite. 
Lorsque  la  courbe  du  3«  ordre 
F{x^y)=:y^  -\-{ax-\-b)y^  -\-{cx^  -\-dx^e)y-[-{fx^  -hyx"^  -\-hx-hk)  = 0 
n’a  ni  point  double  ni  point  de  rebroussement,  il  y a une  seule 
d X 
intégrale  de  la  première  espèce  de  la  forme 
/ 
dF(x,y) 
d y 
La 
