GÉOMÉTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  d’abEL. 
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et  cp{x,  0 celle  de  la  courbe  sécante  du  degré  m,  courbe 
dont  les  paramètres  sont  de  nouveau  censés  variables;  on  a alors: 
dF  cl  F 
j-^dx+j^^d,j  = 0 et 
dcp  dcp 
j-Jx+j;^dy+Sç  = 0, 
OU  d cp  représente  la  somme  des  termes  provenant  de  la  varia- 
tion des  paramètres.  De  cette  équation , il  suit  : 
d X ô cp 
d F {x,  y)  d F dcp  dF  dcp" 
dy  d y d X d x dy 
Par  conséquent  : 
i=mn  ^â{x.,  y.  )dx.  i=>nn  6 (*■  , ÿ • ) c)'  ()p. 
2 I dF[x^,  y — I ^ dF^  dq>.  _ d F.  dq,.' 
dy.  ^ i—\  dy.  dx.  dx.  d y. 
^ I I I t 
où  X;^  , désignent  les  coordonnées  d’un  des 
tersection  des  courbes  F =z0  et  (]p  zn  0. 
Or,  d’après  un  théorème  de  Jacobi  (voir 
P y) 
n points  d’in- 
ret,  Alg.  Sup.  I,  630),  ^ ^ ^ 
dy'  d X 
entre  autres,  Ser- 
zz:  0,  lorsque 
dF  dcp 
dx'  d y 
la  somme  s’étend  aux  solutions  communes  aux  équations 
F{x,  y)  — 0 et  cp{x^y)  — Q et  qu’en  outre  le  degré  du  numé- 
rateur est  plus  bas  que  celui  du  dénominateur.  Comme  F est 
du  degré  w,  cp  du’  degré  m et  ^ du  degré  (n  — 3),  le  dénomi- 
â(x,y).Sq 
nateur , dans  la  forme 
est  du  degré 
dF  d cp  dF  dcp  ' 
d y d X d X dy 
m n — 2 et  le  numérateur  du  degré  m n — 3:  • le  théo- 
rème de  Jacobi  est  donc  applicable  et  l’expression  sous  le  signe 
d’intégration  est  identiquement  0,  d’où  résulte  la  démonstration 
du  théorème  d’Abel. 
