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H.  J.  RINK.  SUR  QUELQUES  APPLICATIONS 
2.  Dans  les  considérations  suivantes,  je  me  bornerai  au  cas 
où  les  trajets  parcourus  par  les  différents  points  d’intersection 
sont  tous  réels.  Pour  cela,  — ^ à moins  que  le  mouvement  de 
la  courbe  sécante  ne  soit  renfermé  entre  certaines  limites,  de  sorte 
que  le  nombre  des  intersections  situées  sur  différentes  parties  reste 
le  même  dans  l’état  initial  et  dans  l’état  final , — il  est  nécessaire 
que  les  points  réels  de  la  courbe  forment  une  suite  continue  et 
que  la  courbe  ne  se  compose  donc  pas  de  2 ou  plusieurs  branches. 
Examinons,  en  premier  lieu,  le  cas  où  une  courbe  du  troi- 
sième ordre,  sans  point  double  ni  point  de  rebroussement,  est 
coupée  par  une  ligne  droite.  On  peut  se  figurer  que  le  pas- 
sage continu  de  la  droite  sécante,  de  la  position  initiale  à 
la  position  finale,  s’effectue  de  la  manière  suivante.  Les  points 
d’intersection  initiaux  étant  A,  B ^ C,  et  les  points  d’intersec- 
tion terminaux  A\  B\  C\  laissons  d’abord  A en  place  et  por- 
tons B le  long  de  le  courbe  en  B':  puisque  deux  des  points 
d’intersection  étaient  situés  sur  la  courbe,  le  troisième  point 
d’intersection  aura  également  parcouru  un  trajet  réel.  Ensuite, 
par  un  second  déplacement , A peut  être  amené  en  A\  la  droite 
tournant  autour  de  B\  et  en  même  temps  C viendra  se  placer 
en  C.  Dans  un  pareil  mouvement , chacune  des  trois  intersec- 
tions a parcouru  un  trajet  réel.  Or,  d’après  le  théorème  d’Abel, 
la  somme  des  intégrales  de  la  première  espèce , prises  sur  les 
trajets  parcourus  par  les  points  A,  B,  C\  est  = 0;  c’est  ce  que 
nous  exprimerons  dans  la  suite  par  J A A'  -\-J  B B'  -hj  C C'  = 0, 
La  première  lettre  du  trajet  auquel  l’intégrale  se  rapporte  ap- 
partient à la 'position  initiale  de  la  droite,  la  seconde  lettre,  à 
la  position  finale;  on  a donc:  J A A'-h  j A' A z=z  0. 
Comme  les  points  réels  de  la  courbe  sont  supposés  former 
une  suite  continue,  on  peut  parvenir  par  deux  chemins  diffé" 
rents  — en  passant  par  l’infini  ou  sans  passer  par  l’infini  — 
d’un  point  A de  la  courbe  à un  autre  point  A'.  Si  l’on  désigne 
ces  deux  chemins  par  Ap  A'  et  Aÿ  A\  l’expression 
