GÉOMÉTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  D’ABEL. 
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jApA’+jA'qA=jApA'—jAqA', 
OU  l’intégrale  étendue  à la  courbe  entière,  parcourue  dans  une 
direction  déterminée,  est  évidemment  une  quantité  finie,  que 
nous  appellerons  K.  A cause  de  ces  deux  manières  différentes 
d’aller  d’un  point  initial  à un  point  final , il  peut  se  faire  que 
la  somme  d’un  certain  nombre  d’intégrales  ne  soit  pas  m 0 , 
mais  égale  à un  nombre  entier  de  fois  K.  Lorsque  nous  vou- 
drons laisser  ce  point  indécis,  nous  emploierons,  au  lieu  du 
signe  = , le  signe  ~ . 
La  réciproque  du  théorème  d’Abel  nous  apprend  une  propriété 
géométrique.  Si  la  somme  de  trois  intégrales  abéliennes  de  la 
l®  espèce  sur  une  courbe  du  3e  ordre  est  égale  (=)  à 0,  et 
que  les  points  initiaux  des  trajets  soient  situés  en  ligne  droite, 
les  points  terminaux  de  ces  trajets  sont  également  en  ligne 
droite.  En  effet,  si  la  droite  passait  par  deux  points  terminaux 
sans  passer  par  le  troisième  , iï  ne  serait  pas  satisfait  au  théo- 
rème d’Abel. 
Dans  le  cas  particulier  où  l’un  des  points  d’intersection  ne 
change  pas  de  place,  l’une  des  trois  intégrales  disparaît  de  la 
somme,  et  c’est  donc  la  somme  des  deux  intégrales  restantes 
qui  est  — 0.  De  là  résulte,  par  inversion,  cette  propriété  gé- 
ométrique : Si  la  somme  de  deux  intégrales  abéliennes  de  la 
1®  espèce  est  égale  (HE)  à 0 sur  une  courbe  du  3®  ordre,  les 
droites  qui  unissent  les  points  initiaux  et  terminaux  des  trajets 
parcourus  par  les  intégrales  se  coupent  sur  la  courbe. 
3.  A l’aide  de  ces  propriétés,  une  foule  de  propositions  con- 
nues, concernant  les  courbes  du  3®  ordre,  se  laissent  démontrer 
facilement.  J’en  donnerai  quelques  exemples. 
a.  Deux  droites  coupent  une  courbe  du  3®  ordre  ; les  6 points 
d’intersection  ainsi  formés  sont  joints  2 à 2 par  des  lig- 
nes droites,  dont  chacune  détermine  sur  la  courbe  un 
troisième  point;  les  trois  points  obtenus  de  cette  manière 
sont  situés  en  ligne  droite. 
