GÉOMÉTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  d’aBEL. 
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4.  La  proposition  de  Steiner,  dont  M.  Clebsch  s’est  occupé 
dans  l’un  des  Mémoires  ci-dessus  cités,  peut  également  etre 
démontrée,  de  cette  manière.  Yoici  l’énoncé  de  cette  proposi- 
tion: Si  l’on  choisit  sur  une  courbe  du  3^  ordre  deux  points 
P et  Ç,  et  que  par  un  point  quelconque  A de  la  courbe  on 
mène  la  droite  P A , celle-ci  détermine  sur  la  courbe  un  nou- 
veau point  P;  de  même,  la  droite  QB  détermine  un  point  Ct 
la  droite  P (7  un  point  P,  etc.  Le  polygone  ainsi  inscrit, 
A B C D E . . . se  fermera,  ou  non.  S’il  se  ferme,  cela  a lieu 
indépendamment  de  la  situation  du  point  A et  le  polygone  a 
un  nombre  pair  de  côtés. 
Pour  que  le  polygone  se  ferme,  il  faut  qu’une  droite  menée 
par  P conduise  à un  point  Z,  qui  soit  situé  en  ligne  droite 
avec  les  points  Q et  A.  Z A est  alors  le  dernier  côté  du  poly- 
gone et  passe  par  Q , tandis  que  le  premier  côté  passe  par  P, 
et  les  suivants  alternativement  par  Q et  par  P;  le  nombre  des 
côtés  est  donc  nécessairement  pair,  égal  à 2n.  Nous  pouvons 
alors  écrire  les  équations  suivantes: 
J F Q -h  J A (7=0  (passage  de  P B A à Q B C) 
fpÇ  + fcE^Oi  „ „PDC„QDE) 
|p(?+|fA  = 0(  „ „PZY„QZA) 
Par  addition,  et  en  remarquant  que  J A C -h  j C E -t -i- 
J Y Az=z0,  on  obtient 
n jpQ=:p.K, 
P est  évidemment  un  nombre  entier  < n et  n’ayant  avec  n 
aucun  diviseur  commun;  s’il  y avait  un  pareil  diviseur,  le  po- 
lygone se  serait  déjà  fermé  plus  tôt. 
