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H.  J.  RINK.  SUR  QUELQUES  APPLICATIONS 
La  condition  à laquelle  il  doit  être  satisfait  pour  que  le  po- 
lygone se  ferme  est  donc  qu’on  ait  j P Q =z  , et  cette  con- 
dition est  indépendante  de  la  situation  du  point  A.  Ainsi  se 
trouve  démontrée  la  proposition  de  Steiner.  — M.  Clebsch  traite , 
avec  assez  de  détails , les  cas  de  n — 2 et  n ~ 3 ; je  me  bor- 
nerai à une  remarque  concernant  le  cas  n — 2. 
Si  deux  droites,  tangentes  aux  points  P et  Q y se  coupent 
sur  la  courbe  en  un  point  R y il  suit  du  passage  de  la  droite 
PR  à Q R: 
jpQ+jpQ~K  = 0 oufpQ  = j. 
Les  points  P et  Q déterminent  donc  un  nombre  infini  de 
tétragones,  dont  les  sommets  se  trouvent  sur  la  courbe  et  dont 
les  côtés  opposés  se  coupent  aux  points  P et  Q.  Ce  sont  donc 
des  quadrilatères  inscrits  complets,  et 'nous  rencontrons  la  pro- 
position que  les  tangentes,  menées  à la  courbe  aux  sommets 
des  angles  opposés,  se  coupent  sur  la  courbe. 
5.  Ainsi  que  l’a  déjà  fait  observer  M.  Clebsch,  la  proposition 
de  Steiner,  dont  il  a été  question  au  § précédent,  est  le  cas 
le  plus  particulier  d’un  problème  général,  qu’on  peut  appliquer 
aux  courbes  de  tous  les  degrés,  tant  planes  qu’à  double  cour- 
bure. Nous  allons  considérer  maintenant  un  cas  déterminé  de 
ce  problème  général,  cas  dont  la  proposition  de  Steiner  se  laisse 
aisément  déduire  comme  cas  plus  particulier.  Notre  proposition 
peut  être  énoncée  de  cette  manière  : 
Il  y a un  nombre  infini  de  polygones  à 2n  angles , dont  les 
sommets  sont  situés  sur  une  courbe  du  troisième  degré  et  dont 
les  côtés  passent  successivement  par  2n  points  fixes  situés  sur 
la  courbe.  On  peut  toujours  prendre  arbitrairement  2n  — 1 de 
ces  points. 
Lorsque  les  points  par  lesquels  passent  les  côtés  impairs  se 
confondent  en  un  seul , et  qu’il  en  est  de  même  des  points  par 
