GÉOMIÊTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  d’aBEL. 
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lesquels  passent  les  côtés  pairs  , cette  proposition  se  transforme 
évidemment  en  celle  de  Steiner. 
Soient  Aq,  ^2n—i  sommets  successifs  de  2n 
angles  de  notre  polygone,  et  désignons  par  «oi)«i2»“23 
les  points  où  les  côtés  Aq  A A^  A^y  A^  A ^ coupent 
la  courbe  pour  la  troisième  fois;  on  a alors 
J ^0  ^2  “Ol  ^J2  ~ ^4  J^23  “34“^ 
/ \ + f «2»  -2,  2«-l  «2«-i  ,0  = 0;  d’où  il  suit  par  addition  : 
J “ni  “l2  +J“23  “34  J“2k-2,  2k-1  “2x~l , 0 — 
C’est  à cette  relation  que  les  points  d’intersection  des  côtés 
doivent  satisfaire  pour  que  le  polygone  se  ferme  ; comme  elle 
est  indépendante  de  la  situation  des  points  A , la  proposition 
est  démontrée,  et  en  même  temps  on  voit  que,  lorsque  2n—\ 
points  a sont  donnés,  le  point  est  entièrement  déterminé 
par  cette  relation. 
Dans  beaucoup  de  cas,  on  peut  constater  une  liaison  géomé- 
trique simple  entre  les  points  a,  ainsi  que  nous  allons  le  faire 
voir  pour  quelques  valeurs  de  n. 
' nz=.  2. 
«3  0 — 0. 
Les  droites  «oi«2s  «12  9^^  joignent  les  Brèmes  points 
d’intersection  appartenant  aux  côtés  opposés  du  quadrilatère , 
se  coupent  sur  la  courbe;  ce  théorème  concorde  évidemment 
avec  celui  mentionné  au  § 3,  en  a.  Pour  passer  à la  proposi- 
tion de  Steiner,  il  est  nécessaire  que  les  points  «qj,  «23  et 
«,2,  «3  0 coïncident,  ce  qui  transforme  les  droites  de  jonction 
en  tangentes.  On  retrouve  donc  la  condition  pour  la  paire  de 
points  de  Steiner  correspondant  au  quadrilatère,  à savoir,  que 
leurs  points  tangentiels  doivent  se  confondre. 
