GÉOMÉTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  d’aBEL. 
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Si  l’on  fait  passer  une  conique  par  les  5 troisièmes  points 
d’intersection  des  cotés  pairs,  et  de  même  par  ceux  des  côtés 
impairs,  la  relation  géométrique  entre  les  10  points  consiste  en 
ce  qu’il  y a coïncidence  des  deux  points  où  les  coniques  coupent 
la  courbe  pour  la  G^ème  fois. 
Evidemment,  on  pourrait  continuer  de  cette  manière  et  trou- 
ver, pour  des  valeurs  plus  élevées  de  w,  les  relations  géomé- 
triques entre  les  points  a. 
6.  On  peut  traiter  d’une  manière  tout  à fait  analogue  l’in- 
tersection par  une  courbe  du  second  ordre. 
Nous  supposerons  de  nouveau  que  la  courbe  donnée  du  3^  ordre 
forme  un  tout  continu  et  que  ses  6 points  d’intersection  avec 
la  conique,  dans  l’état  initial  et  dans  l’état  final,  soient  tous 
réels.  La  conique  peut  alors  être  toujours  déplacée  de  telle 
sorte  que  les  trajets  parcourus  par  les  points  d’intersection 
restent  tous  réels.  En  effet,  en  laissant  d’abord  fixes  4 des 
points  d’intersection,  le  5®  peut  être  amené,  le  long  de  la 
courbe,  de  la  situation  de  départ  à celle  d’arrivée:  le  6^  point 
d’intersection  a alors  parcouru  un  trajet  réel.  Si  l’on  répète 
cette  opération  5 fois,  en  laissant  <îhaque  fois  immobiles  4 points , 
parmi  lesquels  seront  toujours  compris  les  points  déjà  amenés 
dans  leur  situation  finale,  le  6e  point  d’intersection  aura  égale- 
ment atteint  sa  position  définitive  et  tous  auront  parcouru  des 
trajets  réels.  — Ici  encore , il  faut  observer  qu’on  peut  parvenir 
d’un  point  à l’autre  par  deux  voies  différentes,  ce  qui  sera  de 
nouveau  indiqué  par  l’emploi  du  signe  HF.  De  même  encore 
que  pour  la  ligne  droite,  on  peut  prendre  indifféremment  l’un 
ou  l’autre  des  points  d’intersection  de  la  conique  à l’état  final 
pour  le  faire  correspondre  à une  intersection  déterminée  de 
l’état  initial. 
Le  théorème  d’Abel  dit  ici  que  la  somme  des  intégrales  de 
la  1ère  espèce , prises  sur  les  6 trajets  parcourus  par  les  points 
d’intersection , est  =r  0 ; par  inversion , on  obtient  cette  pro- 
priété géométrique , que , si  la  somme  de  6 intégrales  de  la 
lèie  espèce,  sur  une  courbe  du  3e  ordre,  est  0,  et  que  les 
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