GÉOMÉTRIQUES  SIMPLES  DU  THÉORÈME  d’ABEL.  473 
4 de  fixes,  les  droites  qui  joignent  les  deux  autres  points  d’in- 
tersection se  coupent  en  un  même  point  de  la  courbe. 
Dans  le  passage  d’une  des  coniques  à une  autre,  4 des  6 
intégrales  disparaissent  donc  de  la  somme,  à cause  de  la  con- 
stance de  4 points  d’intersection  ; les  deux  intersections  variables 
étant  représentées  par  P,  Q’  ; P\  Q\  on  a 
jpP'  + jQQ'^.0, 
équation  qui  prouve  que  les  droites  P Q et  P'  Q'  se  coupent 
sur  la  courbe. 
c.  Lorsque  les  points  d’intersection  A et  P,  C et  D,  E,  et  F 
coïncident , et  que  la  conique  est  par  conséquent  tangente  à la 
courbe  aux  points  A,  C et  P,  on  peut  faire  passer  par  ces 
points  une  nouvelle  conique,  qui  coupe  en  outre  la  courbe  aux 
points  A',  C et  E'.  Il  s’agit  de  démontrer  qu’on  peut  con- 
struire alors  une  conique  qui  soit  tangente  à la  courbe  en  ces 
points  A',  C et  E. 
Du  passage  de  la  première  conique  à la  seconde,  il  suit: 
Jaa'  +Jcc  +J  EE=a, 
EE'+j  EE^  0. 
Or,  dans  cette  équation  est  impliquée  la  preuve  que  les  points 
A',  A';  CyC;  E'  E'  sont  également  sur  une  conique,  en  d’au- 
tres termes , que  la  conique  est  tangente  à la  courbe. 
De  ce  qui  précède,  on  peut  conclure  aussi  à la  propriété 
suivante:  Si  une  conique  a en  deux  points  P et  Ç un  contact 
du  second  ordre  avec  une  courbe  du  3®  ordre,  et  que  la  droite 
P Q coupe  la  courbe  en  E (point  d’inflexion),  une  droite  menée 
par  R déterminera  sur  la  courbe  deux  points  P'  et  Q\  dans 
lesquels  une  nouvelle  conique  peut  avoir  avec  la  courbe  un 
contact  du  second  ordre. 
ou 
jAA'+jAA'+jcC'+jcC'+l 
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