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8.  De  cette  même  manière  se  laissent  démontrer  aussi  les 
propriétés  dans  lesquelles  il  ne  s’agit  que  d’une  seule  conique» 
combinée  avec  une  droite.  Cette  dernière,  en  effet,  peut  être 
comptée  double  et  considérée  alors  comme  une  conique.  Lorsqu’une 
droite  coupe  une  courbe  du  3^  ordre  aux  points  P,  Ç et  P,  et 
une  conique  aux  points  A,  P,  C,  Z),  P,  F,  on  a donc  encore  : 
jPA+jPB+jQC-hjçD  + jBE  + jBF 
Cette  équation  peut  servir  de  nouveau  à déduire  des  proprié- 
tés géométriques,  soit  directement,  soit  par  inversion.  En  voici 
quelques  exemples. 
a.  La  droite  ABC  coupant  la  courbe,  menons  en  un  des 
points  d’intersection,  par  exemple  en  C,  la  tangente,  qui  cou- 
pera encore  la  courbe  en  D;  menons,  en  outre,  par  D une 
droite  rencontrant  la  courbe  en  E et  en  F.  Il  y a alors  une 
section  conique  qui  est  tangente  en  A et  en  B et  passe  par 
E et  F. 
Du  passage  de  D C à D E F^  il  résulte 
ou 
j CE  + j CF 
jAA  + jAA+jBB-i-jBB  + jCE-hjCF 
0. 
Les  points  A,  A,  P,  B,  P,  F sont  donc  situés  sur  une  coni- 
que, laquelle  est  tangente  en  A et  en  B. 
h.  Lorsque  la  droite  ABC  est  sécante  et  qu’on  fait  passer 
par  A^  B et  C d’autres  droites  coupant  la  courbe  respective- 
ment aux  points  P,  Q ; R , S ; P,  ceux-ci  sont  situés  sur 
une  conique.  On  a,  en  effet: 
j P B -h  j Q C Z-  0 (passage  de  A P Q k-A  B C) 
|R4  + JsC=0 
,,  BBS  „ ABC) 
