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H.  J.  RINK.  SUR  QUELQUES  APPLICATIONS 
des  droites  A B et  A'  B\  ^ et  les  troisièmes  points  d’inter- 
section des  droites  C D et  C D\  on  a aussi 
Ja  A'  + j BB'  — !««'  et  jCC  + jDD'  = j B B', 
et  par  conséquent  J a a -j-  J ^ = 0 , 
d’où  il  suit  que  les  droites  « et  a'  se  coupent  sur  la  courbe. 
On  pourrait  aussi  mener  des  coniques  par  les  points  A,  B^ 
C,  D,  P et  A',  B\  C\  D\  P (P  étant  un  point  arbitraire- 
ment choisi)  ; ces  coniques  auront  alors  encore  un  second  point 
commun  sur  la  courbe. 
D’autres  voies  encore  conduisent  à trouver,  au  moyen  de  4 
coniques  sécantes,  des  -lignes  qui  se  coupent  sur  la  courbe.  On 
y parvient  en  déterminant  de  différentes  manières,  à l’aide  de 
sections  coniques,  la  somme  de  5 intégrales  abéliennes.  J’indi- 
querai succinctement  les  deux  propriétés  qu’on  met  ainsi  faci- 
lement en  évidence. 
Menez  deux  coniques  sécantes  arbitraires,  dont  A,  B,  (7,  D, 
E,  F et  A',  B^  C\  Z>',  E\  F'  seront  les  points  d’intersection 
avec  la  courbe;  puis  deux  coniques  déterminées  par  les  points 
A,  B,  C,  D\  E'  et  A\  B\  C D,  E,  qui  fourniront  respective- 
ment, pour  6e  intersection,  les  points  G et  G']  les  droites 
F F'  et  G G'  se  couperont  sur  la  courbe. 
Menez  de  nouveau  les  deux  coniques  arbitraires  sécantes  en 
A,  B^  C,  Dj  E^  F et  en  A',  B\  D\  E\  F\  puis  les  coni- 
ques déterminées  par  A,  5,  C,  Z>,  E'  et  A',  B\  C,  D\  E,  qui 
fournissent  respectivement,  pour  6«  intersection,  les  points  G 
et  G'.  Les  droites  FF'  et  G G'  se  couperont  encore  sur  la 
courbe. 
De  ces  propriétés,  on  en  déduirait  évidemment  un  grand 
nombre  d’autres , en  faisant  coïncider  différents  points  d’inter- 
section, ou  en  supposant  qu’une  conique  se  transforme  en  une 
ligne  droite  comptée  double. 
