2 T. J. STIELTJES. QUELQUES CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION 
Il en résulterait que cette expression devrait prendre, pour 
au moins un système de valeurs x et une valeur positive 
minimum différente de zéro. Or , cela est impossible , car on 
fait voir que, quels que soient a et 6, ^ la seule condition que 
pour X = a, y h l'expression + 7^ ne soit pas nulle, 
h et h peuvent toujours être déterminés de façon que, pour 
x-=ia -\- h et y =z b k ^ X^-h 7^ reçoive une valeur moindre 
que pour x^a, y = h. 
De la manière dont on établit ce fait, il résulte clairement 
aussi que X^ + ne peut pas non plus acquérir une valeur 
maximum, circonstance qui est d'ailleurs indifférente pour la 
démonstration de Cauchy. 
Mais est le module de f{z) et, lorsque a^,a^ . .an 
sont les points radicaux de l'équation /*(2')=:0, égal au pro- 
duit des distances de z à a,, a^? • • • ^Vi* 
Ces simples réflexions suffisent donc pour montrer que la propo- 
sition plus d'une fois énoncée (voir, entre autres , Compt. Rendus de 
VAcad. d. Se, Tom. LXXXIX, p. 226), que le module de f{z) prend 
aux points radicaux de l'équation ^ÎIS^ — 0 une valeur maxi- 
dz 
mum ou minimum, doit être inexacte. Mettre mieux en lumière 
les circonstances qui se produisent alors, tel est le but des 
premières considérations qui vont être développées et dans les- 
quelles je regarderai comme déjà prouvée la possibilité de la 
décomposilion de f{z) en facteurs linéaires. 
Exprimée sous une forme purement géométrique, la remarque 
faite ci-dessus peut être énoncée en ces termes: étant donnés 
dans un plan n points fixes «j, a^, . . • a^, et en outre un point 
variable le produit des distances de 2; à a,, . . ne prend 
jamais une valeur maximum ou minimum , sauf lorsque le point 
z coïncide avec un des points a a^^ . . a^. Plusieurs des points 
a,, • • • ^„ peuvent d'ailleurs aussi coïncider entre eux. 
