RATIONNELLE ENTIÈRE d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 3 
§ 2. Dans la démonstration suivante de cette proposition, 
il ne sera d'abord aucunement question de sa relation avec la 
théorie des équations algébriques. 
Pour point de départ, je prends donc le développement en 
série connu: 
(1)... Ig {\/\—2acos(i>+a'^)=—acos(f)—\a'^cos2q)~....—-2:^a^cosp(:f^ 
valable pour — l<a<H-l et pour des valeurs quelconques 
de Ce développement peut servir de la manière suivante à 
comparer entre elles , en deux points voisins , les valeurs du 
produit des distances de z à a, , a^? • • • • 
Soient B et C ces deux points, r et 9 les coordonnées po- 
laires de C par rapport à un système d'axes ayant B pour 
origine, i?, et les coordonnées polaires du point radical a, 
par rapport à ce même système; on a alors: 
Ca, = V R ^ ~ 2 R ^ r cos {(p — u^) + , 
I T V ^ 
donc Ig Ca^ z=z Ig R ^ -\- Ig ]/ 1 — 2 — cos (cp — u^) + 
j R^ 
En supposant r<i?j, on a donc, d'après (1), 
P='^ 1 rp 
Ig Ca^ =zlg Ba^ — 2: cos p {cp — u. ). 
Si ^3^3 sont les coordonnées polaires de «2» ^3 • • • 
dans le système d'axes adopté, et si r est plus petit que R^, 
. . . , on a pareillement: 
log Ca^ 3= log Ba^ — 2 cos p [(p — u.^) 
1 V^i^' 
GO J 
log Ca^ z= log Ba^ — 2 cos p {cp — u^} 
1 pR^p 
etc., 
